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4 Desigualdades Lineales Y Cuadráticas Y Sus Propiedades

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Enviado por:  Ensa05  06 junio 2011
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Palabras: 2158   |   Páginas: 9
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...

as propiedades de orden de esta manera.

Definición Desigualdad.

Si a, b son números reales decimos que a “es menor que” b y se representa a < b si b •a es positivo. Similarmente, decimos que a “es mayor que b” y se representa a > b cuando b < a. La relación a < b significa que a < b ó a = b; y a > b significa que a > b ó a = b.

Vemos por lo tanto que un número es positivo si y sólo si es mayor que 0, y negativo si y sólo sí es menor que 0.

Nota Los axiomas se llaman de orden porque si consideramos la relación menor o igual en base a la definición anterior se obtiene una relación que cumple las condiciones de relación de orden. Incluso es un orden total.

De manera análoga como se vio después de los primeros seis axiomas, de aquí se pueden desprender todas las propiedades de desigualdades y de orden de los números reales. Resumimos las principales en el siguiente teorema.

TeoremaPropiedades básicas de desigualdades.

Si a, b y c son números reales entonces:

i) Ley de tricotomía. Se cumple una y sólo una de las condiciones siguientes: a < b, a > b , a = b

ii) Propiedad aditiva: a < b => a + c < b + c

iii) Primera propiedad multiplicativa: a < b, c > 0 ⇒ ac < bc

iv) Segunda propiedad multiplicativa: a < b, c < 0 ⇒ ac > bc

v) a ≠ 0 ⇒ a2 > 0

vi) 1 > 0

vii) a < b ⇒ -b > -a

viii) a < 0 ⇒ -a > 0

ix) ab > 0 ⇒ ambos son positivos ó ambos son negativos

x) ab < 0 ⇒ un número es positivo y el otro negativo

xi) a > 0 ⇒ 1/a >0

xii) a < b, c < d ⇒ => a+c < b+d

Como ejemplo demostraremos la propiedad (ii) del teorema y las demás se dejan como ejercicio.

Ejemplo Demuestre la propiedad (ii) del teorema

Demostración:

a < b => b-a > 0 por definición de <

pero

b-a = b-a + 0 axioma 5

= b-a + c+(-c) axioma 6

= b+(-a) + c + (-c) definición de resta

= b + c + (-a)+(-c) axioma 2

= b +c - (a + c) inverso aditivo de una suma, dir

ecto utilizando la definición de resta

=> a + c < b + c por la definición de ; le llamamos desigualdad abierta o simplemente desigualdad.

Y resolver una desigualdad significa encontrar el conjunto de valores para la cual la proposición resulta verdadera.

Ejemplo 1.10 Resolver la desigualdad 2x 1 > 5.

Solución:

2x 1 > 5 =>

2x 1 + 1 > 5 + 1 =>

2x > 6 =>

x > 3

por lo que el conjunto solución será {x : x > 3}, hacemos notar que los pasos se podrían hacer a la inversa por lo que la desigualdad 2x 1>5 es equivalente a la desigualdad x>3, por lo que la solución es la correcta. Sería más conveniente sustituir los símbolos => por .

Para poder expresar mejor la solución de una desigualdad numérica es conveniente asociar cada número real con un punto sobre una recta, llamada recta numérica. Escogemos 0 como un punto cualquiera de la recta y los enteros equidistantes a la derecha del 0 los positivos y ...



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