Ajuste Por mínimos Cuadrados

AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS

Existen numerosas leyes físicas en las que se sabe de antemano que dos magnitudes x e y se relacionan a través de una ecuación lineal

y = ax + b

donde las constantes b (ordenada en el origen) y a (pendiente) dependen del tipo de sistema que se estudia y, a menudo, son los parámetros que se pretende encontrar.

EJEMPLO: La fuerza F de tracción sobre un muelle y el alargamiento l que experimenta éste están ligadas a través de una ley lineal:

l = (1/K)F

con ordenada en el origen cero y donde el inverso de la pendiente (K) es una característica propia de cada muelle: la llamada constante elástica del mismo.

El método más efectivo para determinar los parámetros a y b se conoce como técnica de mínimos cuadrados.

Consiste en someter el sistema a diferentes condiciones, fijando para ello distintos valores de la variable independiente x, y anotando en cada caso el correspondiente valor medido para la variable dependiente y. De este modo se dispone de una serie de puntos (x1,y1), .... (xn,yn) que, representados gráficamente, deberían caer sobre una línea recta. Sin embargo, los errores experimentales siempre presentes hacen que no se hallen perfectamente alineados (ver Fig. 1). El método de mínimos cuadrados determina los valores de los parámetros a y b de la recta que mejor se ajusta a los datos experimentales. Sin detallar el procedimiento, se dará aquí simplemente el resultado:

donde n es el número de medidas y  representa la suma de todos los datos que se indican.

Los errores en las medidas, se traducirán en errores en los resultados de a y b. Se describe a continuación un método para calcular estos errores. En principio, el método de mínimos cuadrados asume que, al fijar las condiciones experimentales, los valores yi de la variable independiente se conocen con precisión absoluta (esto generalmente no es así, pero lo aceptamos como esencial en el método). Sin embargo, las mediciones de la variable x, irán afectadas de sus errores correspondientes, si  es el valor máximo de todos estos errores, entonces se tiene:

La pendiente de la recta se escribirá , y la ordenada en el origen .

El coeficiente de correlación es otro parámetro para el estudio de una distribución bidimensional, que nos indica el grado de dependencia entre las variables x e y. El coeficiente de correlación r es un número que se obtiene mediante la fórmula:

Su valor puede variar entre 1 y -1.

Si r = -1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es perfecta e inversa.

Si r = 0 no existe ninguna relación entre las variables.

Si r = 1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es perfecta y directa.

Ejemplo: Supongamos un muelle sometido a tracción, se ha cargado el muelle con diferentes pesos (F, variable independiente o y ) y se han anotado los alargamientos (l variable dependiente o x)

Cargas

sucesivas F(yi)

gramos Lecturas

sucesivas (xi)

L

mm

200 60

400 120

500 150

700 210

900 260

1000 290

Los distintos datos que se necesitan son:

n 6

xi 1090

xi2 236300

yi 3700

yi2 2750000

xiyi 806000

 0,2

con lo cual aplicando las expresiones [1] , [2], [3] y [4]

b = -18,4153; a =3,4959 ; b =0,08164966; a =0,00102217; r = 0,9995

Redondeando en la forma usual b = -18,42 ± 0,08 mm; a =3,50 ± 0,00 mm/Kp

No se debe olvidar que se persigue el valor de la constante elástica del muelle:

...