Aplicasion De Las Derivadas

A través del uso del concepto de derivada se logra conocer algunas propiedades relevantes de las

funciones. El estudio de estas características facilita la representación gráfica y la interpretación analítica

de las mismas, lo que posibilita su mejor entendimiento. El objetivo de este capítulo es obtener

información de las funciones a partir de su derivada y conocer más acerca de su comportamiento.

RECTA TANGENTE Y RECTA NORMAL DE UNA CURVA

Si una función y = f (x) posee una derivada en el punto

1

x , la curva tiene una tangente en ( )

1 1 P x , y

cuya pendiente es: ( )

1 1

tan '

1

f x

dx

dy

m

x x

= = =

=

θ .

Se sabe que la ecuación de la recta que pasa por un punto y con una pendiente dada es:

( )

1 1

y − y = m x − x . Por lo tanto, si se sustituye la pendiente por la derivada, la ecuación de la recta

tangente en un punto de una curva es:

( )

1 1

1

x x

dx

dy

y y

x x

− = −

=

Si m = 0 tiene tangente horizontal a la curva. Si m = ∞ tiene tangente vertical a la curva.

x

y

Recta

Tangente

Recta

Normal

90°

P (x

1

,y

1

)

y = f(x)

Una recta normal a una curva en uno de sus puntos es la recta que pasando por dicho punto es

perpendicular a la recta tangente en él.

La condición de perpendicular entre dos rectas es:

1

1 1

1

1

1 2 2

dx

x x

m dy

m m m

=

⋅ = − ⇒ = − = −Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Aplicaciones de la derivada Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

2

La ecuación de la recta normal en el punto ( )

1 1 P x , y es:

( )

1

1

1

1

1

x x

m

y y

x x

− = − −

=

Ejemplos.

Hallar las ecuaciones de las recta tangente y normal de las siguientes curvas en el punto indicado.

1) 3 5 4 ( 6,2 )

2

y = x − x + P

Solución:

6 5 6( ) 2 5 12 5 7

2

1 = = − = − = − =

x=

x

dx

dy

m

y − 6 = 7(x − 2) ⇒ y − 6 = 7x −14 ⇒ 7x − y −8 = 0 (recta tangente).

7

1 1

1

2 = − = −

m

m

( ) ( ) ( ) 2 7 6 2 7 42 2

7

1

y − 6 = − x − ⇒ y − = − x − ⇒ y − = −x +

⇒ x + 7y −44 = 0 (recta normal).

2) 9 12 5 ( ,1 2)

3

y = x − x − P − −

Solución:

27 12 27( ) 1 12 27 12 15

2

1

2

1 = = − = − − = − =

x=−

x

dx

dy

m

y − (− 2) =15(x − (−1)) ⇒ y + 2 =15(x +1) ⇒ y + 2 =15x +15

⇒ 15x − y +13= 0 (recta tangente).

15

1 1

1

2 = − = −

m

...