Breve Reseña Historica De Las Matematicas

Breve reseña Histórica

Los primeros conocimientos geométricos que tuvo el hombre consistían en un conjunto de reglas prácticas. Para que la geometría fuera considerada como ciencia tuvieron que pasar muchos siglos, hasta llegar a los griegos. Es en Grecia donde se ordenan los conocimientos empíricos adquiridos por el hombre a través del tiempo, y al reemplazar la observación y la experiencia por deducciones racionales, se eleva la geometría al plano rigurosamente científico.

BABILONIA

En la Mesopotamia, región situada entre el Tigris y el Éufrates, floreció una civilización cuya antigüedad se remonta a 57 siglos aproximadamente. Los babilonios fueron acerca de 6,000 años, los inventores de la rueda. Tal vez de ahí provino su afán por descubrir las propiedades de la circunferencia y su diámetro era igual a 3. Este valor es famoso por que también se da en el antiguo testamento (Primer libro de los reyes). Los babilonios lo hallaron considerando que la longitud de la circunferencia era un valor intermedio entre los perímetros de los cuadrados inscrito y circunscrito a una circunferencia. Cultivaron la astronomía y conociendo que el año tiene aproximadamente 360 días, dividieron la circunferencia en 360 partes iguales obteniendo el grado sexagesimal. También sabía trazar el hexágono regular inscrito y conocía una fórmula para hallar el área del trapecio rectángulo.

EGIPTO

La base de la civilización egipcia fue la agricultura. La aplicación de los conocimientos geométricos para dividir la tierra fue la causa de que se diera a esta parte de las matemáticas el nombre de geometría, que significa medida de la tierra. Los reyes de Egipto dividieron las tierras en parcelas. Cuando el Nilo en sus crecidas periódicas se llevaba parte de las tierras, los agrimensores tenían que rehacer las divisiones y calcular cuánto debía pagar el dueño de la parcela por concepto de impuesto, ya que este era proporcional a la superficie cultivada. Pero la necesidad de medir las tierras no fue el único motivo que tuvieron los egipcios para estudiar las matemáticas, pues sus sacerdotes cultivaron la GEOMETRIA aplicándola a la construcción. Hace más de 20 siglos fue construida la GRAN PIRAMIDE. Un pueblo que emprendió una obra de tal magnitud que poseía, sin lugar a dudas, extensos conocimientos de GEOMETRIA y ASTRONOMIA , ya que se ha comprobado que además de la precisión con que están determinadas sus dimensiones , la gran pirámide de Egipto está perfectamente orientada. La matemática egipcia la conocemos principalmente a través de los papiros. Entre los problemas geométricos que aparecen resueltos en ellos se encuentran los siguientes:

1.-AREA DEL TRIANGULO ISOSCELES

2-AREA DEL TRAPECIO ISOSCELES

3-AREA DEL CÍRCULO

Además, en los papiros hay un estudio sobre los cuadrados que hace pensar que los egipcios conocían algunos casos particulares de la propiedad del triangulo rectángulo, que mas tarde inmortalizo a Pitágoras.

GRECIA

La Geometría de los egipcios era eminentemente empírica, ya que no se basaba en un sistema ilógico deducido a partir de axiomas y postulados. Los grandes pensadores griegos que no se contentaron con sabes reglas y resolver problemas particulares, no se sintieron satisfechos hasta obtener explicaciones racionales de las cuestiones en general, y en especialmente de las geométricas. En Grecia comienza la geometría como ciencia deductiva. Aunque es probable que algunos matemáticos griegos como tales, herodoto , Pitágoras etc. Fueran a Egipto iniciarse en los conocimientos geométricos ya existentes en dichos país, su gran merito está en que es a ellos a quienes se debe la transformación de la geometría como ciencia deductiva.

TALES DE MILETO (SIGLO VII A. C.)

Representa los comienzos de la geometría como ciencia racional. Fue uno de los “siete sabios” y fundador de la escuela jónica a la que pertenecieron anaximandro , anaxagoras , etc. En su edad madura se dedico al estudio de la filosofía y de las ciencias especialmente de la geometría. Sus estudios lo condujeron a resolver ciertas cuestiones como la determinación de distancias inaccesibles , la igualdad de los ángulos de la base en el triangulo isósceles , el valor del Angulo inscrito y la demostración de los conocidos teoremas que llevan su nombre , relativos a la proporcionalidad de segmentos determinados en dos rectas cortadas por un sistema de paralelas.

PITAGORAS DE SAMOS (SIGLO VI A .C.)

Se dice que fue discípulo de Tales pero apartándose de la escuela jónica fundo en Crotona, Italia, la escuela pitagórica. Hemos dicho que los egipcios conocieron la propiedad del triangulo rectángulo cuyos lados miden 3,4 y 5 unidades, en los que se verifica la relación de 5= 3 + 4 , pero el descubrimiento de la relación a= b + c para cualquier triangulo rectángulo y su demostración se deben indiscutiblemente a Pitágoras. Se atribuye también a la escuela pitagórica la demostración de la propiedad de la suma de los ángulos internos de un triangulo y la construcción geométrica del polígono estrellado de cinco lados.

EUCLIDES (SIGLO IV A.C. )

Escribió una de las obras más famosas de todos los tiempos llamada “Elementos” que consta de 13 capítulos titulados “libros” . De esta obra se han hecho tantas ediciones que solo la aventaja la Biblia. Euclides construyo la geometría partiendo de definiciones, postulados y axiomas con los cuales demostró teoremas a su vez, le sirvieron para demostrar otros teoremas. El edificio geométrico construido por Euclides ha sobrevivido hasta nuestros días , El contenido de los 13 libros es el siguiente:

A) LIBRO 1. Relación de igualdad de triángulos. Teoremas sobre paralelas. Suma de los ángulos de un Polígono. Igualdad de las áreas de triángulos o paralelogramos de igual base y altura. Teorema de Pitágoras

B) LIBRO II. Conjunto de relaciones de igualdad entre área de rectángulos que conducen a la resolución geométrica de la ecuación de segundo grado.

C) LIBRO III. Circunferencia, Angulo Inscrito

D) LIBRO IV. Construcción de polígonos regulares inscritos o circunscritos a una circunferencia

E) LIBRO V. Teorema general de la medida de magnitudes bajo forma geométrica, hasta los números irracionales.

F) LIBRO VI. Proporciones. Triángulos semejantes

G) LIBRO VII, VIII Y IX. Aritmética: proporciones , máximo común divisor y números primos

H) LIBRO X. Números inconmensurables bajo forma geométrica a partir de los radicales cuadráticos

I) LIBRO XI, XII. Geometría del espacio y en particular relación entre volúmenes de una esfera al cubo del diámetro.

J) LIBRO XIII. Construcción de los cinco poliedros regulares.

PLATON (SIGLO IV A.C.)

En la primera mitad de este siglo se inicio en Atenas un movimiento científico a través de la academia de platón, para él, la matemática no tiene finalidad practica sino simplemente se cultiva con el único fin de conocer . Por esta razón. Se opuso a las aplicaciones de la geometría. Dividió la geometría en elemental y superior, La geometría elemental comprendía todos los problemas que se podía resolver con regla y compas. La geometría Superior estudiaba los tres problemas más famosos de la geometría antigua no resolubles con regla y compas:

1. LA CUADRATURA DEL CIRCULO: Se trata como indica su nombre de construir el lado de un cuadrado que la misma área que un circulo dado, utilizando solamente la regla y el compas.

2. LA TRISECCION DEL ANGULO: El problema de dividir un Angulo en tres partes iguales utilizando solamente la regla y el compas no es , más que en casos particulares ,resoluble.

3. LA DUPLICACION DEL CUBO: Este problema consiste en hallar mediante construcción geométrica, en la que se utilice solo la regla y el compas, un cubo que tenga un volumen doble del de un cubo dado.

Estos tres problemas se pueden resolver, con la regla y el compas con toda la aproximación que se desee, Y que se resuelven exactamente utilizando curvas especiales. No se trata por consiguiente de problemas que no se hayan resuelto en la práctica, sino de problemas de importancia puramente teórica.

ARQUIMIDES DE SIRACUSA (287-212 A.C.)

Estudio en Alejandría se encuentra en el una mentalidad practica un genio técnico, que lo llevo a investigar problemas de orden físico y resolverlos por métodos nuevos. Por esto, después de grandes disputas con los eucladionos se retiro a Siracusa donde puso sus descubrimientos al servicio de la técnica.

Calculo un valor más aproximado de pi el área de la slipse, el volumen del cono, de la esfera, etc. Estudio la llamada espiral de Arquímedes que sirve para la trisección del Angulo

APOLONIO DE PERGA (200-200 A.C.)

Estudio ampliamente las secciones cónicas que dieciocho siglos después, sirvieron a kepler en sus trabajos de astronomía determinando casi todas sus propiedades. En su obra se encuentran las ideas que condujeron a descartes a inventar la geometría analítica 20 siglos después.

HERON DE ALEJANDRIA (SIGLO II D.C.)

Demostró la conocida formula que lleva su nombre, para hallar el área de un triangulo en función de su lados.

GEOMETRIAS NO EUCLADIANAS

Los elementos de Euclides fue considerada como una obra en la que sigue el método axiomático ya que partiendo de proposiciones previamente establecidas: definiciones, axiomas y postulados, se deduce toda la geometría en una forma lógica. Posteriormente, se ha visto que tiene varias fallas lógicas, es decir, en el texto no se cumplen todas las exigencias que impone la lógica, Sin embargo, todos los defectos que pueden señalarse resultan insignificantes comparados con el merito extraordinario de haber construido una ciencia deductiva a partir de conocimientos empíricos.

De los cinco postulados de Euclides el V es el que desde un principio, llamo más la atención. Por un punto exterior a una recta pasa una solamente una paralela. Durante 20 siglos se trato de demostrar esto. es decir , convertirlo en teorema, finalmente se pensó que si de verdad era un postulado, el hecho de negarlo , aceptando los demás , no debía conducir a contradicción alguna.

De esta manera procedieron lobatchevsky (1793-1856) y Riemann (1826-1866)La geometría de Riemann sustituye el postulado V de Euclides por el siguiente:

Por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela.

Y la geometría de Lobatchevsky lo sustituye por el que dice

Por un punto exterior a una recta pasan dos paralelas que separan las infinitas rectas no secantes de las infinitas secantes.

Con estos nuevos postulados construyeron nueva geometría que se llama geometría no eucladiana.

PAPIRO DE RHIND (18-16 A.C.)

El documento egipcio más importante que se conoce es el Papiro de Rhind atribuido a ahmes quien dejo asentado que el área del círculo de B casi 3 1/7 veces el área del cuadrado a que se trazara con su radio. Al llevar a la realidad las magistrales obras de las pirámides, es evidente que los egipcios conocían como trazar una perpendicular a una

línea, así mismo sabían hallar las áreas del cuadrado y el triangulo y usaban la plomada.

CONCEPTOS BASICOS DE LA GEOMETRIA

AXIOMA: Un axioma es una proposición que se considera «evidente» y se acepta sin requerir demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo es toda proposición no deducida (de otras), sino que constituye una regla general de pensamiento lógico, por oposición a los postulados.

En lógica y matemáticas, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas «afirmaciones evidentes», porque permiten deducir las demás fórmulas.

En lógica matemática un postulado es una proposición no necesariamente evidente: una fórmula bien formada (planteada) de un lenguaje formal utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.

En matemática se distinguen dos tipos de proposiciones: axiomas lógicos y postulados.

POSTULADO:

Los postulados son fórmulas específicas de una teoría que se aceptan solamente por acuerdo. Razonando acerca de dos estructuras diferentes, por ejemplo los números naturales y los números enteros, pueden comprender los mismos axiomas. Sin embargo los postulados expresan lo que es esencial de una estructura, o un conjunto de éstas. A diferencia de los axiomas lógicos, los postulados no son tautologías.

Cualquier teoría matemática moderna se fundamenta en un conjunto de postulados. Aunque se pensaba que, en principio, toda teoría se podía axiomatizar y formulizar, posteriormente esto se demostró imposible.

En Matemática son célebres los postulados de Euclides, expuestos en los Elementos, el tratado fundamental de la Geometría clásica. Siglos después, cuando se cuestionó el quinto postulado de Euclides, surgió la llamada Geometría no euclidiana.

Existen otros, como el postulado de Bertrand, referente a los números primos, y los postulados de Cauchy, enunciados por el matemático Augustin Louis Cauchy, relativos a vectores.

TEOREMA:

Un teorema requiere de un marco lógico; este marco consistirá en un conjunto de axiomas (sistema axiomático) y un proceso de inferencia el cual permite derivar teoremas a partir de los axiomas y teoremas que han sido derivados previamente.

En lógica matemática y lógica proposicional, cualquier afirmación demostrada se denomina teorema. Más concretamente en lógica matemática se llama demostración a una secuencia finita de fórmulas bien formadas (fórmulas lógicas bien formadas) F1, ...,Fn, tales que cada Fi es o bien un axioma o bien un teorema que se sigue de dos fórmulas anteriores Fj y Fk (tales que j<i y k<i) mediante una regla de deducción. Dada una demostración como la anterior si el elemento final Fn no es un axioma entonces es un teorema.

Resumiendo lo anterior puede decirse formalmente, un teorema es una fórmula bien formada, que no es un axioma, y que puede ser el elemento final de alguna demostración, es decir, un teorema es una fórmula lógica bien formada para la cual existe una demostración.

COROLARIO:

es un término que se utiliza en las matemáticas y en la lógica, para designar la evidencia de un teorema o definición ya demostrada, sin necesidad de tener que invertir esfuerzo adicional en su demostración. En pocas palabras, es una consecuencia tan evidente, que no necesita demostración.

A menudo se trata de una inferencia, si bien la distinción entre teorema y corolario es tan subjetiva como entre lema y teorema.

Ejemplos

• A la afirmación

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

le sigue el corolario

En un triángulo rectángulo la suma de los dos ángulos contiguos a la hipotenusa es igual a 90°.

Dado que la hipotenusa es la arista que se encuentra "frente" al ángulo de 90°, la suma de los ángulos del triángulo contiguos a la misma es igual a 180° - 90° = 90°.

• A la afimación

El ser humano tiene más cabello que el gorila.

le sigue el corolario

Los gorilas no tienen folículos pilosos en el rostro.

En este caso, la inferencia requiere el conocimiento de un parámetro: Tales centimetros cuadrados de piel sin folículos pilosos son una cantidad considerable para lograr una diferencia relevante de miles.

ESCOLIO:

A las notas o breves comentarios gramaticales, críticos o explicativos, ya sean originales o extractos de comentarios existentes, que se insertan en los márgenes del manuscrito de un autor antiguo como glosa sucinta. Similarmente, se llama así a las notas marginales que en los textos matemáticos modernos desarrollan una demostración o razonamiento.

Estas notas eran alteradas por sucesivos copistas y propietarios del manuscrito y en algunos casos ampliadas hasta tal extremo que no quedaba más sitio para ellas y se hacía necesario pasarlas a un libro separado. Al principio se tomaban de un único comentario, y posteriormente de varios. Esto es indicado por la repetición del lema o por el uso de frases tales como «o así», «o por el contrario», «según algunos», etcétera para presentar diferentes explicaciones. Se considera a Dídimo de Alejandría el primer erudito dedicado a compilar escolios, práctica que continuó hasta el siglo XV o XVI.

La palabra scholium fue usada por vez primera por Cicerón (Ad Atticum xiv.7). La mayoría de los escolios griegos conservados son anónimos, con las prominentes excepciones de los comentarios de Eustacio de Tesalónica sobre Homero y Juan Tzetzes sobre Licofrón. Frecuentemente triviales, los escolios contienen mucha información que no se encuentra en otro sitio, y son de considerable valor para la corrección e interpretación del texto. Los más importantes son los hechos sobre Homero (especialmente los escolios venecianos sobre la Ilíada, descubiertos por Villoison en 1781 en la biblioteca de San Marcos en Venecia), Hesíodo, Píndaro, Sófocles, Aristófanes y Apolonio Rodio, y, en latín, los de Servio sobre Virgilio, de Acro y Porfirio sobre Horacio y los de Donato sobre Terencio.

PROBLEMA:

La determinación del problema es una operación mediante la cual se especifica claramente y de un modo concreto sobre qué se va a realizar la investigación. Es el punto inicial de la cadena: Problema- Investigación- Solución; por tanto, determinará toda la posterior proyección de la investigación se debe tener en cuenta:

El problema, responde al ¨ POR QUE¨, de la Investigación lo podemos definir como la situación propia de un objeto, que provoca una necesidad en un sujeto, el cual desarrollará una actividad para transformar la situación mencionada.

El problema es objetivo en tanto es una situación presente en el objeto; pero es subjetivo, pues para que exista el problema, la situación tiene que generar una necesidad en el sujeto.

Cualquier problema científico es consecuencia del desconocimiento de la existencia, en una esfera de la realidad, de elementos y relaciones de dicha realidad objetiva. El planteamiento del problema científico es la expresión de los límites del conocimiento científico actual que genera la insatisfacción de la necesidad del sujeto.

PUNTO GEOMETRICO:

En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.

El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.

LINEA GEOMETRICA:

Es un ente invisible. La línea es un punto en movimiento sobre el plano; al destruirse el reposo del punto este se mueve por el espacio dando origen a la línea.

La línea es el elemento más básico de todo grafismo y uno de los sumamente utilizados. Representa la forma de expresión más sencilla y pura, que a la vez puede ser dinámica y variada. Enrique Lipszyc expresa: la línea que define un contorno es una invención de los dibujantes, ya que «en la naturaleza un objeto es distinguido de otro por su diferencia de color o de tono.».

GENERALIDADES

METODO DEDUCTIVO:

Es el usado en la ciencia y principalmente en la geometría . Este método consiste en encadenar conocimientos que se suponen verdaderos de tal manera que se obtienen nuevos conocimientos. Es decir resultan nuevas proposiciones como consecuencia lógica de otras anteriores.

No todas las proposiciones son consecuencia de otras , Hay algunas otras que se aceptan como ciertas por si mismas , como los axiomas o postulados.

Ademas , existen las definiciones que son proposiciones que exponen con claridad y precisión los caracteres de una cosa . Una caracterisitica de la geometría moderna consiste en evitar la definición de conceptos primarios que tienen poco o ningún sentido. Asi , por ejemplo ,las definiciones tan conocidos como Euclides. Punto es lo que no tiene partes ; línea es una longitud sin anchura, etc. Se basan en conceptos como partes y anchira , cuyas definiciones son mas complejas que lo que se trata de definir.

AXIOMA

Es una proposición tan sencilla y evidente que se admite sin demostración.

Ejemplo: El todo es mayor que cualquiera de sus partes

POSTULADO

Es una proposición no tan evidente como un axioma , pero que también se admite sin demostración.

Ejemplo: Hay infinitos Puntos.

TEOREMA

Es una proposición que puede ser demostrada . La demostración consta de un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición.

Es el enunciado de todo teorema se distinguen dos partes: la hipótesis , que es lo que se supone , la tesis , que es lo que se quiere demostrar.

Ejemplo:

La suma de los angulos interiores de un triangulo es igual a dos angulos rectos.

HIPOTESIS

A,B Y C Son los angulos interiores de un triangulo.

TESIS

La suma de los angulos A,B Y C es igual a dos angulos rectos,

En la demostración se utilizan los conocimientos adquiridos hasta ese momento , relacionados de una manera lógica.

COROLARIO

Es una proposición que se deduce de un teorema como consecuencia del mismo.

Ejemplo: Del teorema: Se deduce el siguiente corolario:

TEOREMA RECIPROCO:

Todo teorema tiene su reciproco. La Hipotesis y la tesis del reciproco. La Hipotesis y la tesis del reciproco son , respectivamente , la tesis y la hipótesis del otro teorema que , en este caso , se llama teorema directo.

EL RECIPROCO DEL TEOREMA: La suma de los angulos interiores de un triangulo es igual a dos angulos rectos dice: Si la suma de los angulos interiores de un polígono es igual a dos angulos rectos , el polígono es un triangulo.

La hipótesis y la tesis del reciproco son :

HIPOTESIS

Poligono cuyos angulos interiores suman dos angulos rectos.

TESIS

El polígono es un triangulo.

No siempre los teoremas reciprocos son verdaderos. Asi por ejemplo , hay un teorema que dice : Las diagonales de un paralelogramo son iguales , la figura es un cuadrado.

Este reciproco es falso por que la figura puede ser un rectángulo que también tiene sus diagonales iguales.

LEMA

Es una proposición que sirve de base a la demostración de un teorema. Es como un teorema preliminar a otro que se considera mas importante:

Para demostrar el volumen de una pirámide se emplea el lema que dice : Un prisma triangular se puede descomponer a tres tetraederos equivalentes.

Actualmente se ha prescindido bastante del uso de la palabra lema y se le suele llamar teorema, o bien , teorema preliminar.

NOTA O ESCOLIO

Es una observación que se hace sobre un teorema previamente demostrado.

Despues de demostrar el teorema que dice: En una misma circunferencia o en circunferencias iguales , a mayor arco correspondiente mayor cuerda (tomando en cuenta arcos menores a una semicircunferencia) , se podría añadir como nota. Si no se consideran arcos menores a una semicircunferencia , a mayor arco corresponde menor cuerda.

PROBLEMA

Es una proposición en la que pide construir una figura que reuna ciertas condiciones (los problemas graficos), O bien , calcular el valor de alguna magnitud geométrica (los problemas numéricos).

PROBLEMA GRAFICO: Construir la circunferencia que pasa por tres puntos dados.

PROBLEMA NUMERICO: Calcula la altura de un triangulo equilátero cuyos lados miden 6cm.

PUNTO

Ya hemos dicho que el punto no se define . La idea de punto esta sugerida por la huella que deja el papel de un lápiz bien afilado.

Un punto geométrico es imaginado tan pequeño que carece de dimensión.

LINEA

Son tipos especiales de conjuntos de puntos.

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