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Conjuntos De Los Numeros Enteros


Enviado por   •  18 de Noviembre de 2013  •  1.911 Palabras (8 Páginas)  •  500 Visitas

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CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS

En la matemática moderna el conjunto de los números enteros (Z) abarca todos los enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia ambos lados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvo que como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de los números naturales forma el conjunto de los Cardinales).

Los números enteros se definen como el conjunto de los números

Z={...,-2,-1,0,1,2,3,...}. Dentro de este conjunto está el subconjunto de los números naturales, N={1,2,3,4,...}. Es decir, el subconjunto de los números enteros positivos (mayores que 0).

Pueden definirse en Z dos operaciones internas binarias + , . : Z x Z ⇒ Z, a las que llamamos suma y producto, respectivamente. Estas operaciones cumplen las siguientes propiedades:

Cerradas: a+b ∈ Z y a.b ∈ Z, ∀a,b ∈Z

Conmutativas: a+b = b+a , a.b = b.a , ∀ a,b ∈ Z

Asociativas: a+(b+c) = (a+b)+c , a.(b.c) = (a.b).c , ∀ a,b ∈ Z

Existencia de elementos neutros: a+0 = a , a.1 = a , ∀ a ∈ Z

Existencia de elemento opuesto para la suma: ∀a ∈Z existe -a ∈ Z tal que a + (-a) = 0

Cancelativa: Si a es distinto de 0, y a.b = a.c entonces b = c

Distributiva: a.(b+c) = a.b + a.c ∀ a,b,c ∈ Z

Los números enteros.

En ciertas ocasiones necesitamos expresar valores que están antes o por debajo del valor que consideramos punto de partida o valor cero.

Ha sido necesario ampliar el conjunto de los números incluyendo también los negativos, para ello añadimos al número natural un signo + o - .

De esta manera han surgido los números enteros, que expresan valores que van de uno en uno, pero permiten expresar valores positivos y también valores negativos.

Escritura de un número entero. El conjunto Z.

En la expresión escrita de un número entero consideramos dos partes: el signo y el valor absoluto.

El conjunto de los números enteros le nombramos con la letra Z

Z={... ... ... -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, ... ... ...}

El conjunto de los números enteros es ilimitado en sentido de los negativos y en sentido de los positivos.

Los números naturales están incluidos en los números enteros, son los enteros positivos.

Es conveniente buscar la forma más simple de expresar un número, por eso, para escribir un número entero positivo es preferible no poner el signo + y dejarlo en forma de número natural.

DETERMINACIÓN DEL CONJUNTO z

Un conjunto es la reunión en un todo de objetos de nuestra intuición o de nuestro pensar, bien determinados y diferenciables los unos de los otros.

Georg Cantor (1845-1918)

1. NOCION DE CONJUNTO

Un conjunto es la reunión, colección o agrupación de objetos que tienen características similares. A estos objetos se les denomina ELEMENTOS de un conjunto. Para simbolizar conjuntos se emplean las letras mayúsculas A, B, C,… y sus elementos separados por coma o punto y coma, y encerrados entre llaves.

2. DETERMINACION DE CONJUNTOS

Determinación por Extensión

Un conjunto esta determinado por extensión cuando se observa todos y cada uno de los elementos del conjunto, enumerándolos o indicándolos en forma sobre entendida:

Ejemplo 1.1 Los siguientes conjuntos están definidos por extensión.

(a) El conjunto de las vocales del alfabeto.

A = {a, e, i, o, u}

(b) El conjunto formado por los números enteros pares no negativos y menores que diez.

B = {0, 2, 4, 6, 8}

Obsérvese que los elementos del conjunto están separados por comas y encerrados entre llaves.

Ejemplo 1.2 Definir por extensión los siguientes conjuntos.

(a) El conjunto de los enteros no negativos menores que cinco.

R= (a) A = {0, 1, 2, 3, 4}

(b) El conjunto de las letras de mi nombre.

R= (b) B = {p, a, c, o}

(C) El conjunto de los números primos entre 10 y 20.

R= (C) D = {11, 13, 17, 19}

(D) El conjunto de los múltiplos de 12 que son menores que 65.

R= (D) E = {12, 24, 36, 48, 60}

Ejemplo 1.3 Definir, por extensión, los conjuntos siguientes:

(a) A = {x : x 2 Z ^ 3 < x < 12}

(a) A = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

(b) B = {x : x es un número de un dígito}

(b) B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

(c) B = {x : x = 2 _ x = 5}

(c) C = {2, 5}

Nota 1.1 Los elementos de un conjunto infinito no pueden especificarse de una forma explícita; consecuentemente, necesitaremos una forma alternativa de describir tales conjuntos implícitamente.

Determinación por Comprensión

Un conjunto esta determinado por comprensión cuando sus elementos se caracterizan mediante una propiedad o característica común.

Esta propiedad o especificación implícita, se hace a menudo mediante un predicado con una variable libre. El conjunto estará determinado por aquellos elementos del universo que hacen del predicado una proposición verdadera. De aquí que si p(x) es un predicado con una variable libre, el conjunto

A = {x : p(x)} denota al conjunto A

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