DISTRIBUCIÓN CONTINUAS 4.1 DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA CONTUNUA.

DISTRIBUCIÓN CONTINUAS

4.1 DEFINICIÓN DE VARIABLE ALEATORIA CONTUNUA.

Si los datos representan mediciones de una variable aleatoria continua y si su cantidad de datos es muy grande, podemos reducir la anchura de los intervalos de clase hasta que la distribución se vea como una curva continua. Una función de densidad de probabilidad, es un modelo teórico para esta distribución.

Si f(y) es la función de distribución acumulativa para una variable aleatoria continua y entonces la función de densidad f(y) para y es.

La función de densidad para una variable aleatoria continua y que modela alguna población de datos de la vida real, por lo regular es una curva continua.

Entonces, el área acumulativa bajo la curva entre -y un punto y0 es igual a f(y0).

-+La función de la densidad para una variable aleatoria continua siempre debe satisfacer las tres propiedades que se indican en siguiente.

Propiedad

1.-

2.-

3.- , donde a y b son constantes.

4.2 FUNCIÓN DE DENSIDAD Y ACUMULATIVA.

Si los datos representan mediciones de una variable aleatoria continua y si la cantidad de datos es muy grande, podemos reducir la anchura de los intervalos de una clase hasta que la distribución se vea como una curva continua. Una función de densidad de probabilidad es un modelo teórico para esta distribución.

Si f(y) es la función de distribución acumulativa para una variable aleatoria continua y, entonces la función de densidad f(y) para y es.

La función de densidad para una variable aleatoria continúa y que modela alguna población de datos de la vida real, por lo regular es una curva.

EJEMPLO:

La función de densidad de probabilidad de probabilidad del tiempo de falla ( en horas) de un componente electrónico de una copiadora.

Para x>0

Calcule la probabilidad de que:

El componente tarde más de 3 mil horas en fallar.

El componente falle en el lapso comprendido entre 1000 y 2000 horas.

El componente falle antes de 1000 horas.

Calcule el de horas en las que fallaron el 10% de todos los componentes.

a)

p(x>3000)= 1- p (0<x<3000)

b)

c)

d)

EJERCICIO:

La función de densidad de probabilidad de peso neto en libras de un paquete de herbicida químico es igual a f(x)=2 para 49.75<x<50.25 libras.

calcule la probabilidad de que un paquete pese más de 50 libras.

Cuanto herbicida estará contenido en el 90% de los paquetes.

a) p(x>50)

b)

Ejercicio 2

Supóngase que f(x)=e-x para 0<x. Determine las siguientes probabilidades.

a) p (1<x)

b)

c)

d)

e)

Ejercicio 3

Suponga que f(x) para 4<x

p(1<x)= no aplicable

no aplicable

p(4<x)=1

e)

4.3 VALOR ESPERADO, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR.

La media y la varianza de una variable aleatoria continua se define de la manera similar al caso de la variable aleatoria discreta. En las definiciones la integración remplaza a la sumatoria.

Supóngale que X es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad fx (x),-<x<.

La media de x, denotada por E (x) o x es

La varianza de X, denotada por V(X) o 2x, es

Así mismo la desviación estándar de X es

EJEMPLO:

Con la siguiente función f(x) =0.125x para 0<x<4, calcular la media, la varianza y la desviación estándar.

Valor esperado:

Varianza:

Desviación estándar:

4.4 DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA.

La distribución continua más sencilla es análoga a su contraparte discreta, una variable aleatoria continua X con función de probabilidad.

...