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Derivada Como Razon De Cambio

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Enviado por:  Ninoka  20 junio 2011
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Palabras: 1652   |   Páginas: 7
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Sea [pic], el área del cuadrado como función de su lado. Entonces: [pic]

[pic]

Todas las cantidades que se encuentran en la vida diaria cambian con el tiempo. Esto es cierto especialmente en las investigaciones científicas. Por ejemplo, un químico puede estar interesado en la cantidad de cierta substancia que se disuelve en el agua por unidad de tiempo. Un ingeniero eléctrico puede querer saber qué tanto cambia la corriente en alguna parte de un circuito eléctrico por unidad de tiempo. Un biólogo puede estudiar el aumento (o la disminución), por unidad de tiempo, del número de bacterias de algún cultivo. Pueden citarse muchos otros ejemplos, incluyendo algunos en campos fuera de las ciencias naturales. Consideremos la siguiente situación que puede aplicarse a cualquiera de los ejemplos anteriores.

Supongamos que una variable [pic] es función del tiempo de manera que al tiempo [pic] está dada por [pic], donde g es una función derivable. La diferencia entre el valor inicial y el valor final de [pic] en el intervalo de tiempo [pic]está dada por [pic]. Análogamente a lo que hicimos tratamiento del concepto de velocidad, formulamos la siguiente definición.

DEFINICIÒN

La razón media de cambio de [pic]en el intervalo [pic] es

[pic]

La razón de cambio de [pic]con respecto a [pic] es

[pic]

Las unidades que deben usarse en al definición (4.29) dependen de la naturaleza de la cantidad representada por [pic]. A veces [pic] se llama la razón de cambio instantáneo de [pic] con respecto a [pic].

El límite de este cociente cuando [pic] tiende a 0 (es decir, [pic]) se llama la razón de cambio de y con respecto a x. Así, si la variable x cambia, entonces y cambia a razón de [pic] unidades por unidad de cambio de x. Por ejemplo, supongamos que cierta cantidad de gas está encerrada en un globo. Si el gas se calienta o se enfría mientras la presión permanece constante, el globo se dilata o se contrae y su volumen [pic] es una función de la temperatura t. La deri

vada [pic] nos da la razón de cambio del volumen con respecto a la temperatura.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.- La intensidad I (en amperes) de la corriente eléctrica en cierto circuito está dada por [pic], donde R denota la resistencia (en ohms). Encuentre la razón de cambio de I con respecto a R cuando la resistencia es 20 ohms.

2.- El radio (en centímetros) de un globo esférico que se está inflando, después de [pic] minutos está dado por [pic], donde [pic]. ¿Cuál es la razón de cambio con respecto a [pic] de cada una de las cantidades siguientes en [pic] (a) r(t) (b) el volumen del globo (c) El área de la superficie.

3.- Una escalera de 4 metros de largo está apoyada en una casa. Si el extremo inferior se desliza por el suelo a razón de 1m/seg., ¿qué tan rápido cambia el ángulo entre la escalera y el suelo cuando el extremo inferior está a 2 metros de la casa?

4.- La iluminación I que produce una fuente de luz es directamente proporcional a la intensidad S de la fuente e inversamente ...



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