Aproximación de la normal a la binomial

APROXIMACIÓN DE LA NORMAL A LA BINOMIAL.

En este caso se estarán calculando probabilidades de experimentos Binomiales de una forma muy aproximada con la distribución Normal, esto puede llevarse a cabo si n y p = p(éxito) no es muy cercana a 0 y 1, o cuando n es pequeño y p tiene un valor muy cercano a ½ ; esto es,

Donde:

x = variable de tipo discreto; solo toma valores enteros

 = np = media de la distribución Binomial

 = = desviación estándar de la distribución Binomial

Cuando ocurren las condiciones anteriores, la gráfica de la distribución Binomial, es muy parecida a la distribución Normal, por lo que es adecuado calcular probabilidades con la Normal en lugar de con la Binomial y de una forma más rápida.

En resumen, se utiliza la aproximación Normal para evaluar probabilidades Binomiales siempre que p no esté cercano a 0 o 1. La aproximación es excelente cuando n es grande y bastante buena para valores pequeños de n si p está razonablemente cercana a ½. Una posible guía para determinar cuando puede utilizarse la aproximación Normal es tener en cuenta el cálculo de np y nq. Sí ambos, np y nqson mayores o iguales a 5, la aproximación será buena.

Antes de empezar a resolver problemas con la aproximación Normal, es bueno aclarar que se están evaluando probabilidades asociadas a una variable discreta x, con una distribución que evalúa variables de tipo continuo como es la Normal,

Por lo que z sufre un pequeño cambio como se muestra a continuación:

¿Porqué vamos a sumar o a restar ½ a x?

Este es un factor de corrección debido a que se está evaluando una variable discreta con una distribución continua, por lo que hay que delimitar claramente desde que punto se va a evaluar la variable, dicho de otra forma, en que límite de la barra (inferior o superior) nos debemos posicionar para determinar la probabilidad requerida, cada barra de probabilidad a evaluar tiene como base la unidad, ese es el porqué del  ½.

Ejemplos:

1. La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad de la sangre es de 0.4. Si se sabe que 100 personas han contraído esta enfermedad, ¿Cuál es la probabilidad de que: a) al menos 30 sobrevivan?, b) más de 46 sobrevivan?, c) menos de 50 no sobrevivan?

Solución:

a)

n = 100

p = p(paciente se recupere) = 0.40

q = p(paciente no se recupere) = 1 – p = 1 – 0.40 = 0.60

 = np = (100)(0.40) = 40 pacientes se recuperen

 = = pacientes que se recuperan

x = variable que nos define el número de pacientes que se recuperan

x = 0, 1, 2,....,100 pacientes que se recuperan

X = 29.5

 = 40

p( z = -2.14) =0.4838

p(x  30 ) = p(z = -2.14) +0.5 = 0.4838 + 0.5 = 0.9838

a)

...