EJERCICIOS RESUELTOS OPTIMIZACION DINAMICA

Ejercicio 1: Considere el siguiente problema se control óptimo:

Optimizar:

V[x(t)]=3∫_0^4▒〖x dt〗

sujeto a:

x ̇=x+u

x(0)=5

u∈[0;2]

Halle las trayectorias dinámicas de x(t) y u(t)

Sea la hamiltoniana: H=x+λ(x+u) … (1)

PRINCIPIO DEL MÁXIMO:

Dado que H es lineal, con respecto a u, se plantea: ∂H/∂u≠0

Se aprecian 2 situaciones

a.1. Si ∂H/∂u>0 → λ>0 →u=2 … (2)

a.2. Si ∂H/∂u<0 → λ<0 →u=0 … (3)

x ̇=∂H/∂λ → x ̇=x+u … (4)

λ ̇=-∂H/∂x → λ ̇=-(1+λ)

Ordenando: λ ̇+λ=-1

Resolviendo: λ(t)=A_0 e^(-t)-1 … (5)

CONDICIÓN DE TRANSVERSALIDAD:

λ(4)=0 → A_0 e^(-4)-1=0

A_0=e^4 … (6)

(6) en (5): λ(t)=e^(4-t)-1 … (7)

Observe que t∈ [0;4┤[ → λ>0 … (8)

(8) en (2): Si λ>0∴u=2 … (9)

(9) en (4): x ̇=x+u →x ̇-x=2

Resolviendo: x=A_1 e^t-2

Por las condiciones: x(0)=5 →A_1 e^0-2=5

A_1=7

Finalmente:

x(t)=A_1 e^t-2 → x(t)=7e^t-2

u(t)=2

λ(t)=e^(4-t)-1

Grafique x(t) , u(t)

Halle el valor óptimo

V[x(t)]=3∫_0^4▒〖x dt〗 → V=3∫_0^4▒( 7e^t-2 )dt

V=3(367,1870502)

V=1101,561151

Ejercicio 3:

Considere el siguiente problema se control óptimo:

Optimizar:

V=∫_0^6▒〖-5y dt〗

sujeto a:

y ̇=y+u

y(0)=8

Además:

u∈[1;3]

Construyendo la ha miltoniana:H=-5y+ﺩλ(y+u)…………….(1)

Por el principio del máximo MaxUH: t∈[1;6]; ῼ∈[1;3]

sabemos que existe una relación lineal entre H y u.

Por lo tanto aplicamos lo siguiente: ∂H/∂u≠0…………………………………(2)

Existen dos opciones:

Si ∂H/∂u>0→u=3; si∂H/∂u<0→u=1

El problema es de solución de esquina: ∂H/∂u=λ……………………………(5)

Aplicando (2) en (5): λ≠0

Si λ>0 ∂H/∂u>0→u=3…………………………(3)

Si λ˂0 ∂H/∂u<0→u=1………………………….(4)

Segunda condición o ecuación de movimiento de estado: y ̇=∂H/∂λ→y ̇=y+u…..(6)

Tercera condición o ecuación de movimiento de coestado:

λ ̇=-∂H/∂y→λ ̇=-(-5+λ)→λ ̇-λ=5………………(7)

Resolviendo: r-1=0r=1 ; λ=Aλ`=0

λ=Ae^t+5 (8)

Aplicando la condición de transversal dad: λ(t)=0λ(6)=0………………(9)

Ae^6+5=0→A=-5e^(-6)………………………….(10)

Reemplazando (10) en (8): λ(t)=-5e^(t-6)+5……………..(11)

Se observa los siguientes detalles: ∀t∈[0;6]→λ>0

Nos falta la variable de control y de estado: t∈[0;6]→u=3…………..(12)

Tomando en cuenta la expresión (6) se reemplaza (12)en (6):

y ̇-y=3→y(t)=Ae^t-3…………………………..(13)

Aplicando la condición inicial: y(0)=8→A-3=8→A=11………………..(14)

Reemplazando (14) en (13): y(t)=11e^t-3……………………..(15)

Solución: ∀t∈[0;6]→y(t)=11e^t-3;λ(t)=-5e^(t-6)+5;u(t)=3

∫_0^6▒〖-5(11e^t-3)dt→∫_0^6▒〖-55e^t+15 dt→〗〗=-22098.5836422 Valor optimo

Interpretación: cuando la variable de control es igual a tres la trayectoria optima es convexa y permite obtener un valor optimo de -22098.5836422 en el funcional

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