Ecuaciones Diferenciales Homogenea

1. Resuelva el problema de valor inicial

2x2y’’ + 3xy’ – y = 0; si y(1) = 2 y’(1) = 1

Ecuación equidimensional de Euler donde x=e^z

ax^2 y^''+bxy^'-cy=0

ax^2 z(z-1) x^(z-2)+bx*zx^(z-1)+cx^z=0

az(z-1) x^z+b*zx^z+cx^z=0

La ecuación característica queda de la forma:

az(z-1)+b*z+c=0

az^2-az+b*z+c=0

az^2+z(b-a)+c=0

Reemplazando

a=2,b=3, c=-1

2z^2+z(3-2)-1=0

2z^2+z(1)-1=0

z_1=-1 z_2=1/2

y=〖c_1 x〗^z1+〖c_2 x〗^z2

Reemplazando

y=〖c_1 x〗^(-1)+〖c_2 x〗^(1/2)

y^'=〖〖-c〗_1 x〗^(-2)+1/2 〖c_2 e〗^(-1/2)

Reemplazando las condiciones iníciales

y(1) = 2 y’(1) = 1

2=〖c_1 1〗^(-1)+〖c_2 1〗^(1/2)

2=c_1+c_2 (1)

1=〖〖-c〗_1 1〗^(-2)+1/2 〖c_2 1〗^(-1/2)

1=〖-c〗_1+1/2 c_2 (2)

Resolviendo (1) y (2)

c_1=0 y c_2=2

y=〖0x〗^(-1)+〖2x〗^(1/2)

Se resuelve esas ecuaciones y se hallan los valores de c1 y c2

2. Determine el wronskiano de los siguientes pares de funciones:

A. Y1=1 e Y2= log x

Y_1=1 Y_2=log⁡x

〖Y'〗_1=0 〖Y'〗_2=log⁡e/x

W=|■(1&log⁡x@0&log⁡e/x)|=log⁡e/x

B. Y1= eax e Y2= x eax

Y_1=e^ax Y_2=e^ax

〖Y'〗_1=〖ae〗^ax 〖Y'〗_2=〖ae〗^ax

W=|■(e^ax&e^ax@〖ae〗^ax&ae^ax )|=〖ae〗^ax e^ax-〖ae〗^ax e^ax=0

C. Y1=e-x e Y2= e2x

Y_1=e^(-x) Y_2=e^2x

〖Y'〗_1=〖-e〗^(-x) 〖Y'〗_2=〖2e〗^2x

W=|■(e^(-x)&e^2x@〖-e〗^(-x)&2e^2x )|=〖2e〗^(-x) e^2x+e^2x e^(-x)=2e^x+e^x=3e^x

3. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes constantes.

A. 4y’’ - 8y’ + 7y = 0

Polinomio asociado:

4r2-8r+7=0

r=(8±√(8^2-4*4*7))/(2*4)

r_1=(8+√(-48))/8=1+√3/2 i

r_2=(8-√(-48))/8=1-√3/2

Como las raíces son complejas

y(t)=e^ax (〖c_1 cos〗⁡bx+c_2 sen bx) para z=a+bi para

y=e^x (c_1 cos⁡〖√3/2 x〗+c_2 sen √3/2 x)

B. y’’ + 2y’ + 3y = 0

Polinomio asociado:

r2+2r+3=0

r=(-2±√(2^2-4*1*3))/(2*1)

r_1=(-2+√(-8))/2=-1+√2 i

r_2=(-2-√(-8))/2=-1-√2 i

Como las raíces son complejas

y=e^ax (〖c_1 cos〗⁡bx+c_2 sen bx) para z=a+bi para

y=e^(-x) (c_1 cos⁡〖√2 x〗+c_2 sen √2 x)

C. y’’ – 9y’ + 20y = 0

r2-9r+20=0

(r-4)(r-5)=0

R1=5 y r2=4

Como las raíces son reales

y=〖c_1 e〗^r1x+〖c_2 e〗^r2x

y=〖c_1 e〗^5x+〖c_2 e〗^4x

4. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes indeterminados:

A. y’’ + 3y’ – 10y = 6e4x

se halla la homogénea

r^2+3r-10r=0

(r+5)(r-2)=0

r_1=-5 y r_2=2

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