Ejercicios De Distribucion Muestral

DISTRIBUCIÓN CHI2 CUADRADO DE PEARSON

Ejemplo, El espesor de un semiconductor se controla mediante la variación estándar no mayor a =0.60 mm. Para mantener controlado el proceso se toman muestras aleatoriamente de tamaño de 20 unidades, y se considera que el sistema está fuera de control cuando la probabilidad de que 2 tome valor mayor o igual al valor de la muestra observado es que es 0.01. Que se puede concluir si s=0.84mm?

Solución. Existe fuera de control si con n=20 y =0.60, excede

Entonces,

Por tanto, el sistema está fuera de control

Ejemplo. Un bioquímico sospecha que su micro-centrífuga no mantiene constante su velocidad mientras trabaja, lo cual le da una variabilidad indeseada en sus determinaciones. Para controlarla, consigue un tacómetro regulado y mide cada minuto la velocidad durante 10 minutos. Los resultados fueron: una velocidad promedio en las 10 mediciones de 3098 rpm con una desviación de 100,4 rpm. Testear para un error relativo máximo del 2% o menos, si la centrífuga es estable.

La desviación estándar es max=2%*3098=62 rpm, luego,

H0: max≤62 rpm

H1: max≥62 rpm

De la Tabla de valores críticos surge: χ20,99;9=21,666 y χ20,991;9=27,877. Por lo tanto, el bioquímico ha encontrado una muy fuerte evidencia que la velocidad del equipo oscila en forma indeseada, tal como sospechaba. Y deberá ajustarlo si desea disminuir la variabilidad de sus mediciones. Los resultados fueron muy significativos χ2 = 23,6

Ejemplo. Un farmacéutico Jefe del Dpto. Control de Calidad en una industria alimenticia, descubre que en su proceso de producción el contenido de ciclamato en su línea de mermeladas dietéticas varía en forma indeseada. Sospechando que se trata de una falla en el dosificador, decide tomar 10 muestras seguidas del mismo. Encuentra un promedio de 20 gramos con una desviación de 8 gramos. Si en su protocolo de fabricación la variación máxima permitida es del 3%, determinar si el dosificador debe ser corregido.

El desviación estándar aceptable es: máx = 3% de 20 g = 6 g. Luego:

H0:máx ≤6 g.: el dosificador funciona correctamente

H1:máx > 6 g.: el dosificador debe ser cambiado

De la Tabla de valores críticos surge: 20,95;9=16,9. Por lo tanto, el farmacéutico no ha encontrado evidencia que respalde sus sospechas. Sin embargo, el valor hallado es muy cercano al crítico, por lo que le convendría hacer más pruebas.

DISTRIBUCIÓN F SNEDECOR O F-FISHER

Ejemplo, Un valor de f con 6 y 10 grados de libertad para un área de 0.95 a la derecha es,

f0.95,6,10=1/(f0.05,10,6)=1/4.06=0.246

Si de dos poblaciones normales, o aproximadamente normales, se extraen dos muestras aleatorias e independientes, y a cada una se le calcula su respectiva varianza, el cociente de ambos valores (con F>1, esto es, siempre se coloca el más grande como numerador) tendrá una distribución de Fisher, cuyos valores críticos fueron obtenidos por W. Snedecor en una tabla que se caracteriza por tener dos grados de libertad: el correspondiente al numerador υ1=n1-1 y el del denominador υ2=n2-1. Programas de computación permiten calcular los valores críticos respectivos

En las Tablas se presenta una hoja para cada nivel de confianza, se eligen los más apropiados como: 95% ; 97,5% ; 99% ; 99,5% y 99,9%. Como siempre, el área total bajo la curva es la unidad y se extiende desde 0 a + ∞. La forma es muy parecida a la Chi-cuadrado. se muestran tres casos, con diferentes grados de libertad, y se marca el valor de F=2,5 con una ,línea punteada vertical.

Ejemplo, El jefe de un laboratorio se encuentra con una técnica de medición fuera del control estadístico. Para investigar las causas decide investigar si el factor humano tiene incidencia, y toma una muestra de suero cualquiera la divide en 20 alícuotas. Luego elige 10 de ellas al azar y se las entrega al laboratorista 1 para que haga las determinaciones; las restantes las encomienda al laboratorista 2 para que las mida. Los resultados obtenidos son: s12=2,4 es la varianza obtenida por el laborista, 1 y s22=0,8 para el otro. Decidir si hay diferencia en dispersión entre ambos.

H0:

H1:

El estadígrafo es

Como se trata de un ensayo de dos colas, para un nivel del 95% de confianza, se busca en las tablas para: υ1=υ2=n1-1=9 grados de libertad, mientras que α = 0,025 para el límite inferior y α = 0,975 para el superior. Estos valores son F0,975;(9,9) = 4,03.

Luego, para calcular el valor no tabulado α = 0,025 se aprovecha una propiedad que tiene la función F usando la inversa: F0,025;(9,9) =1/F0,975; (9,9) =1/4,03 = 0,248 Como el valor hallado F=3 cae dentro de la zona de aceptación, no hay evidencia significativa como para decir que el factor humano tiene incidencia en la dispersión de las mediciones.

DISTRIBUCIÓN t-STUDENT

Ejemplo, En 16 recorridos de prueba de una hora cada uno, el consumo de gasolina de un motor es de 16.4 gal, con una desviación estándar de 2.1 gal. Demuestre que la afirmación que el consumo promedio de gasolina de este motor es 12.0 gal/hora

Solución, Sustituyendo n=16, =12.0, =16.4 y s=2.1 en la formula de t-Student, se tiene

Para el cual en las tablas, para =5% y 15 gl es insignificante, y por tanto se puede concluir que el consumo de 12 gal/h es real

Ejemplo, Encuentre los valores de la función para:

a. 14 gl, =97.5%→t0.975=-t2.5%=-2.145

b. P(-t0.025<T<t0.05)=0.925

Ejemplo. Se desea saber si un instrumento de medición cualquiera está calibrado, desde el punto de vista de la exactitud. Para ello se consigue un valor patrón y se lo mide 10 veces

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