Ensayo Ejercicios Resueltos Estadistica

Permutaciones

Calcule 9!, 10! y 11!

9!=362,880

10!=3,628,800

11!=39,916,800

Calcular: 16!/14!, 14!/11!, 8!/10! 10!/13!

16!/14! = 15*16= 240

14!/11! = 12*13*14 = 2184

8!/10! = 1/9*10=1/90

10!/13!= 1/(11*12*13)

Simplificar

(n+1)!/n! = n+1

n!/(n-2)!=1*2*3*...*n/(1*2*3*...*n-2)=n*(n-1)

(n-1)!=(n+2)!=1/(n*(n+1)*(n+2))

(n-r+1)!/(n-r-1)! = (n-r+1)(n-r)

¿Cuántas placas para automóvil pueden hacerse si cada placa consta de dos letras “diferentes” seguidas de 3 dígitos diferentes?

Observemos que necesitamos tomar de 26 letras 2 (diferentes), es decir 26P2= 25*26 =650, luego de 10 dígitos hay que tomar 3 lo cual es 10P3=720, entonces, de acuerdo con el principio de conteo, el número total es 650*720=468,000

¿Si el primer número no puede ser cero? Necesitamos considerar el caso solo que del primero solo hay nueve formas de tomarlo, del segundo número y tercero hay 9P2=72, lo que da: 650*72*9=421,200

De A a B hay 6 caminos y de B a C 4:

¿De cuántas maneras se puede ir a c pasando por b? 6*4=24

¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje ida y vuelta? =6*4*6*4=576

¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje de ida y vuelta sin pasar por los mismos caminos? 6*4*3*5=360

Hallar el número de maneras en que 6 personas pueden conducir un tobogán si uno de tres debe manejar: Tenemos 6 personas 3 conducen y 3 van de pasajeros, Entonces para el sitio del conductor hay 3 posibilidades, para el siguiente hay 5, para el otro 4 y así, entonces hay 5!*3=360 formas de hacerlo.

Hallar el número de maneras en que 5 personas pueden sentarse en una fila: 5!=120 formas,

¿Cuántas habría si dos personas insisten en sentarse una junto a la otra? Consideremos que si los dos se sientan juntos, se pueden considerar como una sola persona en 4 asientos, así que sería 4!=24 formas, pero si permutamos el orden en que se sientan, tendríamos el doble de posibilidades es decir 48 formas.

Hallar el número de maneras en que 5 personas pueden sentarse en una mesa redonda: Se tiene que un sitio se debe asignar, pero este elimina 5 posibilidades, por lo tanto el número es 4!=24.

Para el caso en que dos personas se quieran sentar juntas, =2*3!=12 formas.

Hallar el número de palabras de cuatro letras que se pueden formar con las letras de la palabra cristal: 7P4=7*6*5*4=840

¿Cuántas contienen solo consonantes? 5P4=5!=120

¿Cuántas empiezan por vocal? Hay 2 vocales, así que para la primera letra hay 2 posibilidades y para las otras letras hay 6P3=6!/3!=120, por lo que hay 240 palabras que inician con vocal.

¿Cuántas tienen la letra i? Fijemos que hay 4 posibilidades donde haya una i, y para el resto quedan disponibles las 6P3=120 posibilidades, por lo tanto hay 480 palabras con i.

¿Cuántas empiezan con T y terminan con vocal? Tenemos para la primera 1 posibilidad y para el resto hay 5P2=20 *2 = 40 palabras

¿Cuántas comienzan con T y tienen S? hay 1 posibilidad para la T al inicio y 3 para la s, para las otras dos hay 5P2=20, por lo que existen 60 palabras.

¿Cuántas señales diferentes se pueden formar con 8 banderas colocadas en línea vertical si 4 son rojas, 2 azules y 2 verdes? 8!/4!2!2!=420 señales

Hallar el número de permutaciones que se pueden formar con todas las letras de una palabra

barra: Tenemos 2 a’s, 2 r’s y una b, entonces tenemos que el total, sin considerar, las repeticiones, sería 5!, pero esto hay que dividirlo entre 2!*2!, por lo que habrán únicamente 30 palabras.

satélites: Tenemos 2 s’s, 2 t’s y si no consideramos la tilde en una e serían 2 e’s entonces sería 9!/(2!*2!*2!)=45,360

proposición: de nuevo 2 p’s, 3 o’s, 2 i’s, entonces tendríamos 11!/(2!*2!*3!)=1,633,200

Impropio: 2 p’s, 2 i’s, 2 o’s, entonces: 8!/(2!*2!*2!)=5040

Hallar el número de maneras en que 4 niños y 4 niñas se pueden sentar en una fila, si los hombres y las mujeres deben quedar alternados: Serían 4*4*3*3*2*2*1*1 (pero esto sería si comenzamos con una mujer, ahora esto se duplica, pues el primero puede ser un hombre) = 1,152 maneras

¿Qué sucede si un niño y una niña determinados deben quedar siempre juntos? Tenemos entonces 1*7*3*3*2*2*1*1*(2) el 2 en paréntesis se refiere a que puede ser uno o el otro caso el que se siente primero, entonces hay: 504 maneras de sentarlos.

¿Y la forma en que pueden quedar separados? 1152-504=648

Resolver el problema anterior si se sientan alrededor de una mesa circular: (1*4*3*3*2*2*1*1)=144

(1*1*3*3*2*2*1*1)*2= 72

144-72=72

Una urna contiene 10 bolas. Hallar el número de pruebas ordenadas

De tamaño 3 con sustitución: 10^3=1,000

De tamaño 3 sin sustitución: 10P3= 720

De tamaño 4 con sustitución: 10^4=10,000

De tamaño 5 sin sustitución: 10P5= 30,240

Hallar el número de maneras cómo se pueden colocar en un estante 5 libros grandes, 4 medianos y 3 pequeños de modo que los libros de igual tamaño estén juntos: La forma en que se pueden colocar los libros grandes es de 5!,

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