COEFICIENTES DE ERROR.

COEFICIENTES DE ERROR.

Objetivo: Analizar el error en estado estacionario para sistemas con

realimentación unitaria y no unitaria. Como así también definir el tipo de sistema,

es decir a que señal de referencia es capaz de seguir, con error nulo en régimen

permanente.

Introducción.

Antes de emprender el análisis del error en estado estable, se debe clarificar cuál es

el significado de error del sistema. En general el error se puede ver como una señal

que rápidamente debe ser minimizada y si es posible reducida a cero.-

Considérese un sistema de control SISO, como el indicado en la figura 1

SR(s) R(s) + E (s) a C(s)

- B(s)

Fig. 1 Esquema de bloques para un control SISO

El error verdadero se define como la diferencia entre la señal de referencia Sr(t) y la

señal de salida c(t) , mientras que el error actuante, o señal activa, es la entrada al

bloque G(s), que se denominara en adelantee (t) a , (si está en las unidades de r(t) ) y

e'a(t) si la dimensión es la misma que tiene la señal de referencia Sr(t) .-

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) :( , )

( ) ( ) ( ) ( ); ( ).

1 E s R s B s R s H s C s SR s G s H s C s ErrorActuante o Señal Activa

E s SR s C s Error Verdadero la unidad es la misma quela de Sr t

a = − = − = −

= − −

La dimensión de la ea(t) es igual a la de r(t) , generalmente en [Volt], pero también

suele expresarse en la misma unidad que la referencia, e'a(t) , por ejemplo: [ºC, rad.,

rad/seg., m/seg.,...etc.], con su valor equivalente como se verá mas adelante.

La función de transferencia H(s) , se supondrá de acá en más que no tiene polos ni

ceros en el origen y representa al sistema de medición, que generalmente realiza la

medición de la variable controlada c(t) y la convierte en otra variable,b(t) , más

conveniente de procesar y transmitir como ser, tensión, corriente, presión, etc.

Por lo tanto H(0) = K = cte. − H

Como se puede apreciar la relación entre la dimensión de la señal de salida, por

ejemplo, ºC, metros, rad/seg. etc., y la señal de realimentación, o la señal de

entrada que es por lo general Volts, estará dada por la ganancia estática de la

función de transferencia del elemento de medición H(s) o sea KH.

Por lo tanto deberá ser la misma relación entre la señal de referencia y la señal de

entrada, o sea, la ganancia estática de G1(s) deberá ser también KH.

( ) 1 G s G(s)

H(s)

Error en Estado Estacionario de Sistemas de Control Prof. Ing. Carlos F. Martín Año: 2009 2

Como la función de transferencia ( ) 1 G s , del llamado selector de referencia,

(usualmente una ganancia y siempre tiene una dimensión, por ejemplo [Volt/rad,

Volt/ºC, Volt/m etc.]), representa al elemento que convierte la señal de referencia

Sr(t) en una variable adecuada, la de entrada r(t) , para poder ser comparada con la

medición de la salida, b(t) , por ende, S R H G (s) = K = K 1

Si se supone que S R G (s) = K 1 , la ganancia estática de la función de transferencia del

sistema será:

(0)

(0)

1 (0) (0) 1

(0)

(0)

(0)

' (0) (0)

H

G

K

G H

K G

K M

SR

M C SR SR

S R

+

=

+

= = =

Como se puede ver solo siG(0)→∞, S R H K = K , en consecuencia si G(s) no tiene

polos en el origen y se hace S R H K = K el sistema tendrá un error de estado

estacionario a una entrada escalón, (el sistema será Tipo cero).-

Si el error verdadero fuera siempre nulo para una referencia escalón, S R K deberá

tener en el valor : SR H K

G

H

G

K = + = +

(0)

(0) 1

(0)

1 , pero ya no se respetaría la

relación comentada entre Sr(t) y la de entrada r(t).

Si G(0)→∞, (tiene un polo en el origen), y S R K se hace igual a la ganancia estática

de H(s) , en estos casos se tendrá dicho error nulo, sistema Tipo uno.-

Por lo tanto la señal de referencia sería:

S R K

Sr(t) = r(t) que se empleará así:

H K

Sr(t) = r(t)

En consecuencia la señal del error verdadero será:

( ) ( ) c(t)

K

e t r t

S R

= − que se tomará así: ( ) ( ) c(t)

K

e t r t

H

= −

Para el tiempo tendiendo a infinito será el error de estado estacionario en estudio.

Cuando H(s) y ( ) 1 G s valen 1, se dice que el sistema es de realimentación unitaria

y, para este caso los dos errores coinciden y además Sr(t) = r(t) ⇒ SR(s) = R(s).−

Sistemas con realimentación unitaria

Estos sistemas tienen un diagrama en bloques como el indicado en la figura 2.

En ellos la señal de referencia y la de entrada coinciden o sea: SR(s) = R(s)

SR(s) = R(s) + E(s) E (s) a = C(s)

_

B(s) = C(s)

Fig. 2. Diagrama en bloques para un sistema de realimentación unitaria.

En general cualquier función transferencia puede ser escrita como:

G(s)

Error en Estado Estacionario de Sistemas de Control Prof. Ing. Carlos F. Martín Año: 2009 3

donde n k m

s s p

K s z

s s p s p

G s K s z s z k

i

i

n

m

j

n j

k

n

n m + ≥

+

+

=

+ +

+ +

=

Π

Π

=

=

1

1

'

1

1

'

( )

( )

( )...........( )

( ).............( )

( )

Para los sistemas de realimentación unitaria el “tipo de sistema” se define según

sea el valor de “n” en la expresión anterior. Es decir según el número de

integraciones puras en la cadena directa.

Ejemplo:

El tipo de sistema indica que orden de señales de referencia puede “seguir” un

sistema con error nulo en régimen estacionario. Aquí “el orden” se refiere a la

potencia de s en la transformada de Laplace de la referencia. Para ver esto,

investigaremos el error en estacionario para varios tipos de sistemas, debido a las

señales de referencia: impulso R(s)=1, escalón R(s)=1/s, rampa R(s)=1/s∧2 y

parábola R(s)=1/s∧3.

El error para el sistema de realimentación unitaria, se obtiene como:

En régimen permanente, el error se obtiene aplicando el teorema del valor final,

de la transformada de Laplace:

1.- Entrada Impulso: R(s)=1

Sistema Tipo “0”

Sistema tipo “1”

Sistema tipo “2” y superiores

Error en Estado Estacionario de Sistemas de Control Prof. Ing. Carlos F. Martín Año: 2009 4

Resumen: Un impulso puede ser seguido en régimen permanente, sin error, por

todos los tipos de sistemas.

2.-Entrada escalón R(s)=1/s

Sistema Tipo “0”

Sistemas Tipo “1” y mayores

Resumen: Un escalón puede ser seguido sin error, en régimen permanente, por

los sistemas tipo uno y superiores.

3.- Entrada rampa R(s)=1/s∧2

Sistema tipo “0”

Sistema Tipo “1”

Sistema Tipo “2” y superiores

Error en Estado Estacionario de Sistemas de Control Prof. Ing. Carlos F. Martín Año: 2009 5

Resumen: Una rampa puede ser seguida en régimen permanente por sistemas

tipo “2” y superiores.

4.-Entrada parábola R(s)=1/s∧3

Sistema Tipo “0”,

Sistema Tipo “1”,

Sistema tipo “2”,

Sistema tipo “3” y superiores

Resumen: Una entrada parábola puede ser seguida sin error en estacionario por

los sistemas tipo tres y superiores.

Coeficientes de error.

Se definen los coeficientes de error como:

Error en Estado Estacionario de Sistemas de Control Prof. Ing. Carlos F. Martín Año: 2009 6

Coeficiente de error al escalón:

. . . lim ( )

0 0 c e e Kp K G s

s→

= ≡ = , como E(s) y C(s) tienen las mismas unidades, por tanto

Ko es adimensional.-

Coeficiente de error a la rampa:

. . . lim ( )

1 0 c e r Kv K sG s

s→

= ≡ = , 1 K tiene las dimensiones de segundo-1.-

Coeficiente de error a la parábola:

. . . lim 2 ( )

2 0 c e p Ka K s G s

s→

= ≡ = , 2 K tiene las dimensiones de segundo-2.-

Luego los errores en estado estacionario para las señales de prueba unitarias son:

Para el escalón unitario en la entrada:

Ko

e

+

∞ =

1

( ) 1

Para la rampa unitaria en la entrada:

1

( ) 1

K

e ∞ =

Para la parábola unitaria en la entrada:

2

( ) 1

K

e ∞ =

Resumiendo los resultados obtenidos en un cuadro de valores, para las diferentes

señales de referencia unitarias se tendrá, (recordar que SR(s) = R(s) ):

Error en Estado Estacionario de Sistemas de Control Prof. Ing. Carlos F. Martín Año: 2009 7

Ejemplo.

a) Dado el error calcular el rango de la ganancia del lazo (problema inverso).

Sea el sistema de realimentación unitaria, cuya planta tiene la transferencia:

Hallar el valor de K de manera que el error en estacionario sea e (∞) < 0.1

Solución:

El sistema es tipo cero, de manera que el error es:

b) Dado el sistema calcular los errores (Problema directo)

Considere el sistema con realimentación unitaria, cuya planta es:

El rango de K para la estabilidad del sistema es: 0 < K < 1.304 .-

Determine el error en estacionario cuando el sistema es excitado con diferentes

tipos de señales de referencia, con la ganancia variando entre: 0 < K < 1.304 .-

• Entrada escalón ⇒ e (∞) = 0: pues el sistema es tipo 1.

• Entrada rampa:

En este caso e(∞), puede regularse, ajustando K dentro del rango ya mencionado.

• Entrada parábola ⇒ e(∞) = ∞

Error en estacionario debido a perturbaciones.

Cuando sobre el sistema actúa una perturbación, además de la referencia, por

ejemplo el sistema de control de posición de una antena como se indica la figura 3.

Error en Estado Estacionario de Sistemas de Control Prof. Ing. Carlos F. Martín Año: 2009 8

Dc(s) [Nm]

( ) 1 G s + Dm(s) ( ) 2 G s

R(s)+ Ea(s) U(s) Pm(s) + C(s)

[Volt] _ [Volt]

Figura 3. Sistema con perturbación

El error debido a la perturbación está dado por.

( )

1 ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

1 2

2 Dc s

Gc s G s G s

E s C s G s

+

−

= − =

η

Si la perturbación del par perturbador en la carga es de forma escalón unitario el

error en estacionario se determina mediante:

Gc s G s G s s

e s E s s G s

s s

1

1 ( ) ( ) ( )

( ) lim ( ) lim ( )

1 2

2

0 0 +

−

∞ = =

→ →

η

lim ( ) ( )

( )

lim 1

( )

0 1

2

0

Gc s G s

G s

e

s→ s→

+

−

∞ =

η

La perturbación es usualmente una carga que actúa sobre el sistema fuera del

modelo normal. Nosotros debemos esperar que no haya error de posición, debido al

polo del origen creado por el motor. ¡Perfecto!

Ahora, supongamos que se levanta viento, dando lugar a la aparición de una cupla

sobre la antena de 1Nm, desplazando la antena de su set-point. Esta cupla se

conoce como “cupla de perturbación”, la cual impactará sobre el error en estado

estacionario. En este caso la cupla de perturbación reducida por la relación de

engranajes η = 0.10 , aparece sobre el eje del motor, generando una corriente de

perturbación, que a su vez genera un par de reacción a la perturbación, en el eje del

motor. Si el controlador es uno proporcional, Gc(s) = Kc , el diagrama en bloques

acondicionado tiene el aspecto indicado en la figura 4:

Dc(s) Dm(s) + C(s)

_

Figura 4. Diagrama en bloques del control de posición modificado.

η

Gc(s)

( 10)

2.5

s +

( 0.05)

100 /

s s +

π

( 10)

2.5

s +

Kc

0.10 ( 0.05)

100 /

s s +

π

Error en Estado Estacionario de Sistemas de Control Prof. Ing. Carlos F. Martín Año: 2009 9

Donde la perturbación Dc(s) es un escalón de 1Nm.-

¿Cómo afecta esto al error en estacionario? Como se sabe el error en estacionario

está dado por.

(∞) = (∞) + (∞)

R DC e e e ;

El error debido a la entrada de referencia escalón será nulo pues el sistema es tipo1.

El error debido a la perturbación lo calculamos con la relación ya deducida:

lim ( ) ( )

( )

lim 1

( )

0 1

2

0

Gc s G s

G s

e

s s

DC

→ →

+

−

∞ =

η

Para nuestro caso será:

Kc

s

s s Kc

e

s s

DC 2.5

1

( 10)

lim 2.5

100 /

lim ( 0.05)

( ) 0.1

0 0

−

=

+

+

+

−

∞ =

→ π →

Por lo tanto:

Kc

e( ) 0.40

−

∞ =

El cálculo realizado muestra que aumentando la ganancia del controlador, Kc se

disminuye el efecto de la perturbación sobre nuestro sistema de control

automático.

Sistemas con realimentación no unitaria

a) error verdadero.

El caso general se indica en la figura 5, llamaremos G(s) = Gc(s)Gp(s) , donde Gc(s)

y Gp(s) son las funciones de transferencia del controlador y de la planta.-

SR(s) R(s) + E (s) a C(s)

- B(s)

Figura 5. Sistema SISO con realimentación no unitaria

Se considerará en este estudio en principio que la ganancia del selector de

referencia tiene un valor cualquiera, como se dijo por anteriormente es igual a la

ganancia estática de la función de transferencia del camino de realimentación.-

( ) 1 G s G(s)

H(s)

Error en Estado Estacionario de Sistemas de Control Prof. Ing. Carlos F. Martín Año: 2009 10

El error verdadero es:

( )

1 ( ) ( )

( ) 1 ( )[ ( ) ( )]

( )

1 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1

SR s

G s H s

E s G s H s G s

SR s

G s H s

E s SR s C s SR s G s G s









+

+ −

=

+

= − = −

El diagrama equivalente al anterior con realimentación unitaria es:

SR(s) + E(s) C(s)

_

Figura 7. Diagrama en bloques equivalente con realimentación unitaria.

Calculando el error verdadero, en el diagrama de la figura 7, obtenemos el mismo

resultado que el ya obtenido precedentemente.

[ ]

( )

1 ( ) ( )

( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) SR s

G s H s

E s G s H s G s 









+

+ −

=

El tipo del sistema lo determinamos del sistema equivalente con realimentación

unitaria de la figura 7, y le aplicamos todo los demás conceptos vistos respecto al

error verdadero en régimen estacionario, tipo de sistemas y coeficientes de error de

los sistemas con realimentación unitaria.

El diagrama se puede simplificar así:

SR(s) + E(s) C(s)

_

Figura 7 a.

Donde la ( ) . G s equiv es:

1 ( )[ ( ) ( )]

( ) ( ) ( )

1

1

. G s H s G s

G s G s G s equiv + −

= si H G (s) = K 1 :

1 ( )[ ( ) ]

( ) ( ) .

H

H

equiv G s H s K

G s K G s

+ −

=

• Como se puede apreciar si H H(s) = Cte = K , la función equivalente del

camino directo del sistema con realimentación unitaria será

( ) ( ) . G s K G s equiv H = , por lo tanto el Tipo del sistema coincidirá siempre con

los polos en el origen que tenga la función de trasferencia real del

camino directo G(s).−

1 ( )[ ( ) ( )]

( ) ( )

1

1

G s H s G s

G s G s

+ −

( ) . G s equiv

Error en Estado Estacionario de Sistemas de Control Prof. Ing. Carlos F. Martín Año: 2009 11

• Si H(s) es una función con polos y ceros, (recordar que no pueden estar

el origen como se ha supuesto), el Tipo del sistema quedará

determinado por los integradores de la función G(s) , solo en los casos

que la misma tenga uno o ningún polo en el origen.

• Si G(s) tiene dos o más integradores, el Tipo del sistema será el

indicado por los integradores de la función G(s) , solamente en el caso

que la función de transferencia H(s) sea una constante, H H(s) = Cte = K .-

Comentario: Considerar como error del sistema al “error verdadero”, significa

tomar como salida del mismo la variable controlada verdadera, es decir C(s), la

cual se compara con la señal de referencia SR(s).

Otra forma de calcular el error verdadero es con los coeficientes de los polinomios

de la función de transferencia del sistema M ' (s).−

Se seguirá suponiendo que: H s

H s = K

→

lim ( )

0

y además que:

S R K

Sr(t) = r(t) con: S R H K = K

El error verdadero será:

( ) ( ) c(t)

K

e t r t

H

= −

Aplicando el teorema del valor final ser tendrá:

lim ( ) lim[ ( )]

0

e e t s E s

E E t→∞ s→

= =

[sE(s)] debe tener todos sus polos en el semiplano izquierdo del plano s, esto

equivale a decir que el sistema sea estable. Transformado por Laplace la primera

ecuación:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 [1 K M(s)]R(s)

K

M s R s

K

C s R s

K

E s R s H

H H H

= − = − = −

Como K M(s) M ' (s) H = , se tendrá:

[ M s ]R s s

K

e

H

EE s lim 1 1 ' ( ) ( )

0

= −

→

Si, ( ) = ( ) = ( ) ⇒ ( ) = ( ) ⇒ ( ) = ( ) ⇒ = . − H s S H

H

s r t K t r t R t R K

K

Sr t μ t r t μ μ

Como

s

K

s

R(s) = R = H , se tendrá:

( ) lim(1 ' ( ))

0

e referencia escalón unitario M s

EE s = −

→

Error en Estado Estacionario de Sistemas de Control Prof. Ing. Carlos F. Martín Año: 2009 12

Si , ( ) = ( ) = ( ) ⇒ ( ) = ( ) ⇒ ( ) = ( ) ⇒ = . − H s S H

H

s r t K t t r t Rt t R K

K

Sr t tμ t r t μ μ

Como 2 2 ( )

s

K

s

R s = R = H , se tendrá:

( )

s

e referencia rampa unitaria M s

EE s

( ) lim1 ' ( ) 1

0

= −

→

Si , = = ⇒ = ⇒ = ( ) ⇒ = . −

2

( ) ( )

2

( ) ( ) ( ) 1

2

( ) 1 2 2 2

H S S H

H

s r t K t t r t R t t R K

K

Sr t t μ t r t μ μ

Como 3 3 ( )

s

K

s

R s = R = H , se tendrá:

( ) 2

'

0

( ) lim1 ( ) 1

s

e referencia parabólica M s

EE s = −

→

Se supondrá que la función de transferencia del sistema

( )

( ) ( )

R s

M s = C s , no tiene polos

en el origen y es de la forma:

1 0

2

2

1

1

1 0

2

2

1

1 .............

( )

( ) ( )

+α + − − − − − +α +α +α

+ + + + +

= = −

−

−

−

s s s s

b s b s b s b s b

R s

M s C s n

n

n

m

m

m

m ; donde: 0 0 n > m y α ≠

Por lo tanto M ' (s) será:

1 0

2

2

1

1

1 0

2

2

1

' 1 .............

( )

( ) ( )

+α + − − − − − +α +α +α

+ + + + +

= = −

−

−

−

s s s s

K b s K b s K b s K b s K b

SR s

M s C s n

n

n

H H H

m

H m

m

H m

Si llamamos:

= ; = ; = 2 . −

'

1 2

'

0 1

'

0 K b b K b b K b b etc H H H

1 0

2

2

1

1

0

'

1

2 '

2

1 '

1

' '

' .............

( )

( ) ( )

+α + − − − − − +α +α +α

+ + + + +

= = −

−

−

−

s s s s

b s b s b s b s b

SR s

M s C s n

n

n

m

m

m

m

Por ende se tendrá:

[ ]

1 0

2

2

1

1

1 1 0 0

2

' ............. ( 2 2 ) ( ) ( )

1 ( )

α α α α

α α α

+ + − − − − − + + +

+ + − + − + −

− = −

− s s s s

M s s b s b s b n

n

n

n

Reemplazando en las tres expresiones del error verdadero de estado estacionario,

para las tres señales de referencia unitarias se llega al valor de los mismos, en

función de los coeficientes de la función de transferencia M ' (s) y se resumen de la

tabla siguiente:

Si la magnitud de los escalones o pendientes de las rampas de las señales de

referencias, no son unitarias, los errores aquí indicados se deberán multiplicar por

el valor de esas magnitudes.

Error en Estado Estacionario de Sistemas de Control Prof. Ing. Carlos F. Martín Año: 2009 13

M' (s)

Sr(t)

0

'

0 α ≠ b

1

'

1

0

'

0

b

b

≠

=

α

α

2

'

2

1

'

1

0

'

0

b

b

b

≠

=

=

α

α

α

2

'

2

1

'

1

0

'

0

b

b

b

=

=

=

α

α

α

Sr(t) (t) S

μ =

0

0

'

0

α

α − b

0

0

0

Sr(t) t (t) S

μ =

∞

0

1

'

1

α

α − b

0

0

( )

2

Sr(t) 1 t2 t S

μ =

∞

∞

0

...