Esfera Caida Fluido

Caída de una esfera inmersa en un fluido viscoso

1.- Conceptos básicos:

1.1 Viscosidad: La viscosidad es una propiedad macroscópica del fluido, de carácter intensivo (no depende de la cantidad de materia). Es aquella propiedad del fluido por la cual éste ofrece resistencia al corte o cizalle. Las unidades en que se mide la viscosidad surgen de manera natural al aplicar la llamada Ley de Newton: al aplicar un esfuerzo de corte sobre un fluido, el gradiente de velocidad es proporcional al esfuerzo aplicado:

Es decir:

Usando las dimensiones F, L, T para fuerza, longitud y tiempo:

: FL-2 v: LT-1 y : L

se muestra que tiene las dimensiones FL-2T. En el sistema MKS, las unidades de la viscosidad son por lo tanto Ns/m2.

Observación: siempre es posible plantear la Ley de Newton de la forma aquí expuesta, sin embargo, la viscosidad sólo será una constante para los llamados “fluidos newtonianos” (el agua es uno de ellos). En el caso más general, la viscosidad dependerá de alguna potencia de la rapidez de deformación. La ciencia que estudia dichas relaciones se denomina “Reología”.

1.2 Tensión superficial: En la interfase entre un líquido y otra sustancia (líquido o gas) se forma una película especial, debido a la atracción de las moléculas que están en el seno del fluido. El efecto observado es que dicha película presenta una resistencia a la deformación, similar a una membrana elástica. La tensión que opone esta película es la llamada “tensión superficial”. Alternativamente, la tensión superficial puede entenderse como una “energía por unidad de área interfacial”.

Las unidades de la tensión superficial son: F/L o bien E/L2. En el sistema MKS, corresponden N/m.

1.3 Fuerza de Flotación: La fuerza resultante ejercida sobre un cuerpo por un fluido estático, en el cual está sumergido total o parcialmente, se denomina fuerza de flotación. Esta siempre actúa verticalmente hacia arriba. Se demuestra a continuación, de manera muy simple, que dicha fuerza corresponde al peso de fluido desplazado por el cuerpo, la llamada “Ley de Arquímedes”.

Considere la siguiente figura:

La fuerza vertical ejercida sobre un elemento del cuerpo de sección dA es:

donde  es el peso específico del cuerpo. Integrando las contribuciones de todos los elementos:

1.4.- Número de Reynolds: En mecánica de fluidos, la aplicación del análisis dimensional lleva a la definición de un número adimensional, llamado número de Reynolds, que se define como:

donde ,, son la velocidad, densidad del fluido y viscosidad de éste respectivamente. “L” en cambio, representa una longitud característica del fenómeno. En el caso de una esfera, dicha longitud es el diámetro “D”:

Físicamente, el número de Reynolds es un cuociente entre las fuerzas inerciales (asociadas a la velocidad) y las fuerzas de resistencia viscosa (asociadas a la viscosidad).

1.5.- Fuerza de arrastre: Un cuerpo inmerso en un fluido, que se desplaza con velocidad relativa no nula respecto de éste, sufre una fuerza de resistencia al movimiento, debida al efecto neto de la presión ejercida por el fluido y del esfuerzo de corte producido por la viscosidad del fluido. La fuerza resultante de ambas contribuciones se denomina “arrastre”. La expresión más general para el arrastre sobre cuerpos sumergidos es:

donde A es el área normal proyectada en la dirección del flujo, U la velocidad,  la densidad y CD es el “coeficiente de arrastre”. Este último es un número adimensional, que es función de la forma del cuerpo y del número de Reynolds. En el caso particular de esferas en régimen laminar, es decir para números de Reynolds<1, se aplica la ley de Stokes:

Esto es equivalente a:

2.- Ecuación de movimiento para una esfera inmersa en un fluido

Considere el siguiente diagrama de cuerpo libre para la esfera:

De acuerdo a lo expuesto en la sección precedente, resulta claro que las fuerzas que actúan sobre la esfera cuando esta “cae” a través del fluido son el peso, la flotación y el arrastre, según se aprecia en la figura. Aplicando entonces la segunda ley de Newton, se tiene:

(1)

Notar que la fuerza de arrastre es proporcional a la velocidad, por lo que esta componente va aumentando a medida que el cuerpo se desplaza. De este modo, si transcurre el tiempo suficiente, la esfera alcanzará una velocidad constante, llamada “velocidad terminal”, cuya expresión puede obtenerse directamente de la ecuación (1) al anular el término de la aceleración:

(2)

Luego de un despeje directo, se obtiene de (2):

Donde  = peso específico de la esfera – peso específico del fluido.

Por otro lado,

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