Estimación Por mínimos Cuadrados

Métodos lineales y estimación por mínimos cuadrados

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo forma parte de los objetivos y contenidos de aprendizaje de la cátedra ESTADÍSTICA, que pretende desarrollar las habilidades para la utilización de los métodos lineales y estimación de mínimos cuadrados.

Para lograr este fin, se realizo la consulta de una bibliografía básica la cual permitió desarrollar los conceptos y ejemplos, como base para realizar una exposición adecuada en el salón de clases.

En este trabajo básicamente se habla de cómo desarrollar la aplicación de los métodos lineales y estimación por mínimos cuadrados, además de inferencia, predicción y correlación.

Se desarrollaron una serie de ejemplos mediante los cuales se trata de presentar manera mas sencilla usar estos métodos.

El Equipo # 4

Métodos de mínimos cuadrados.

El procedimiento mas objetivo para ajustar una recta a un conjunto de datos presentados en

un diagrama de dispersión se conoce como "el método de los mínimos cuadrados". La recta

resultante presenta dos características importantes:

1. Es nula la suma de las desviaciones verticales de los puntos a partir de la recta de ajuste

∑ (Yｰ - Y) = 0.

2. Es mínima la suma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra recta daría

una suma menor de las desviaciones elevadas al cuadrado ∑ (Yｰ - Y)² → 0

(mínima).

El procedimiento consiste entonces en minimizar los residuos al cuadrado Ci²

Re emplazando nos queda

La obtención de los valores de a y b que minimizan esta función es un problema que se puede resolver recurriendo a la derivación parcial de la función en términos de a y b: llamemos G a la función que se va a minimizar:

Tomemos las derivadas parciales de G respecto de a y b que son las incógnitas y las igualamos a cero; de esta forma se obtienen dos ecuaciones llamadas ecuaciones normales del modelo que pueden ser resueltas por cualquier método ya sea igualación o matrices para obtener los valores de a y b.

Derivamos parcialmente la ecuación respecto de a

Primera ecuación normal

Derivamos parcialmente la ecuación respecto de b

Segunda ecuación normal

Los valores de a y b se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones resultante. Veamos el siguiente ejemplo:

En un estudio económico se desea saber la relación entre el nivel de instrucción de las personas y el ingreso.

EJEMPLO 1

Se toma una muestra aleatoria de 8 ciudades de una región geográfica de 13 departamentos y se determina por los datos del censo el porcentaje de graduados en educación superior y la mediana del ingreso de cada ciudad, los resultados son los siguientes:

CIUDAD : 1 2 3 4 5 6 7 8

% de (X)

Graduados : 7.2 6.7 17.0 12.5 6.3 23.9 6.0 10.2

Ingreso (Y)

Mediana : 4.2 4.9 7.0 6.2 3.8 7.6 4.4 5.4 (0000)

Tenemos las ecuaciones normales

∑y = na + b∑x

∑xy = a∑x + b∑x²

Debemos encontrar los términos de las ecuaciones

∑y, ∑x, ∑xy, ∑ x² Por tanto procedemos de la siguiente forma:

Y X XY X²

4.2 7.2 30.24 51.84

4.9 6.7 32.83 44.89

7.0 17.0 119.00 289.00

6.2 12.5 77.50 156.25

3.8 6.3 23.94 39.69

7.6 23.9 181.64 571.21

4.4 6.0 26.40 36.00

5.4 10.2 55.08 104.04

43.5 89.8 546.63 1292.92

Sustituyendo en las ecuaciones los resultados obtenidos tenemos: 43.50 = 8a + 89.8b

546.63 = 89.8a + 1292.92b

multiplicamos la primera ecuación por (-89.8) y la segunda por (8) así:

43.50 = 8a + 89.8b (-89.8) 546.63 = 89.8a + 1292.92b (8)

-3906.30 = -718.4a - 8064.04b 4373.04 = 718.4a + 10343.36b

466.74 = -0- 2279.32b

Este valor de b lo reemplazamos en cualquiera de las ecuaciones para obtener a así:

Reemplazando b = 0.20477 en la primera ecuación normal

43.5 = 8a + 89.8 (0.20477) 43.5 = 8a + 18.3880 43.5 - 18.3880 = 8a 25.1120 = 8a

Tenemos entonces que los coeficientes de regresión son : a = 3.139 y b = 0.20477. Por tanto la ecuación de regresión nos queda:

...