Limites

1) LIMITE EN UN PUNTO.

a) Límite finito:

Se dice que la función y = f(x) tiene por límite l cuando x tiende hacia a, y se representa por

(Es decir, que si fijamos un entorno de l de radio , podemos encontrar un entorno de a de radio , que depende de , de modo que para cualquier valor de x que esté en el entorno E(a, ) exceptuando el propio a, se tiene que su imagen f(a) está en el entorno E(l, ).)

b) Límite infinito: (A partir de ahora usaremos la notación matemática para hacer más corta la definición). .

c) Límite por la izquierda:

d) Límite por la derecha:

2) PROPIEDADES O REGLAS DE LOS LÍMITES.

a) siempre que no aparezca la indeterminación .

b) con .

c) siempre y cuando no aparezca la indeterminación .

d) siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones e .

e) con , siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen.

f) siempre y cuando tengan sentido las potencias que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos .

Otra explicación.

El límite de una función en un punto es único. (Se puede decir lo mismo diciendo: Una función no puede tener dos límites diferentes en un mismo punto).

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f + g, en el punto x = a, es l + m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite de la suma es igual a la suma de los límites).

lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f * g, en el punto x = a, es l * m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del producto es igual al producto de los límites).

lim (f(x).g(x)) = lim f(x) . lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m (distinto de cero), entonces el limite de la función f / g, en el punto x = a, es l / m. (Esto se expresa de manera rápida diciendo: El límite del cociente es igual al cociente de los límites).

lim (f(x)/g(x)) = lim f(x) / lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f g , en el punto x = a, es l m.

lim (f(x))g(x) = lim (f(x))lim g(x)

Sean f y g dos funciones. Si el límite de la función f, en el punto x = a, es l, y el límite de la función g, en el punto x = a, es m, entonces el limite de la función f(g(x)) (suponiendo que tenga sentido) en el punto x = a, es l.

3) FACTORIZACION DE POLINOMIOS

Por analogía con los números enteros, se hablan de factorización de un polinomio para significar el hecho de expresarlo como producto de otros polinomios. Tal factorización no siempre es posible, e interesa establecer las condiciones en que pueda realizarse.

El teorema del resto proporciona el instrumento fundamental de la factorizacion ya que nos dice que si un polinomio p (x) tiene valor numérico 0 para x = a, entonces será divisible por x-a, es decir, que el polinomio podrá factorizarse en la forma P (x) = Q (x) . (x - a) donde Q (x) será el cociente de dividir P (x) . (x-a), que puede calcularse fácilmente mediante la regla de Ruffini. Los valores de “x” para los que un polinomio es nulo, se llaman las raíces del polinomio; entonces resultaran que, si es así raíz del polinomio P(x), este será divisible

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