Lecciones De Fisica Moderna

Lecciones

de

F´ısica Matem´atica

Alonso Sep´ulveda S.

Instituto de F´ısica

Universidad de Antioquia

Medell´ın, Agosto de 2004

Colecci´on Ciencia y Tecnolog´ıa

c Alonso Sepu´lveda

c Editorial Universidad de Antioquia

ISBN: xxxxxxxxxx(volumen)

ISBN: xxxxxxxxxx(obra completa)

Dise˜no de cubierta: xxxxxxxxxx

Dibujos interiores: Giovanny Atehort´ua

Dise˜no interno y diagramaci´on: xxxxxxxxxx

Impresi´on y terminaci´on: xxxxxxxxxx

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A mis estudiantes

Prefacio

Las leyes b´asicas de la f´ısica son invariantes, en su forma matem´atica, bajo un

conjunto bastante general de transformaciones, dependientes de las caracter´ısticas

del espacio y el tiempo en que ocurren los fen´omenos f´ısicos. En el marco de la

f´ısica newtoniana estas leyes tienen la misma forma matem´atica en todos los sistemas

coordenados que difieren uno respecto al otro en la Posici´on de su origen

coordenado. Esta exigencia proviene del postulado de homogeneidad del espacio

euclidiano y, conduce a la conservaci´on del momento lineal. La forma matem´atica

de las leyes se preserva tambi´en en los sistemas coordenados que s´olo difieren por

su Orientaci´on, y esta propiedad indica la isotrop´ıa, es decir la equivalencia de las

diferentes direcciones del espacio euclidiano, que implica la conservaci´on del momento

angular. Tambi´en las leyes f´ısicas son invariantes respecto a la escogencia del

cero de la coordenada temporal, vale decir, son las mismas en todos los instantes,

lo que corresponde a la homogeneidad del tiempo en la f´ısica cl´asica: todos los instantes

son cualitativamente id´enticos. Implica la conservaci´on de la energ´ıa. Es

cierto adem´as que las leyes preservan su forma en los m´ultiples sistemas de referencia

en movimiento relativo uniforme, lo que equivale a la aceptaci´on del principio

de inercia y a la imposibilidad de encontrar el reposo absoluto en el espacio; este es

el principio de relatividad especial si adem´as se exige la existencia de una velocidad

invariante, la de la luz.

Estas amplias invarianzas de las leyes f´ısicas (hay otras, como simetr´ıas de reflexi

´on, de inversi´on, o a´un m´as abstractas como las de cambio de signo de las cargas

el´ectricas) exigen una forma de escritura matem´atica que exprese su invarianza ante

estos conjuntos de transformaciones. Ello se logra en el ´ambito de la f´ısica newtoniana

mediante la implementaci´on del an´alisis vectorial 3-dimensional, el que hace

manifiestos estos diversos principios de relatividad posicional, de orientaci´on y de

movimiento.

Por ello comenzaremos este curso proponiendo las bases del an´alisis vectorial

3-dimensional, independientemente de la escogencia espec´ıfica de un sistema de

coordenadas, lo que garantiza la id´entica escritura de las leyes en todos ellos y

i

ii PREFACIO

permite expresar matem´aticamente las invarianzas del mundo. Consecuentemente,

en los desarrollos del cap´ıtulo 1 propondremos las formas generales, en coordenadas

curvil´ıneas ortogonales, de las operaciones diferenciales b´asicas: gradiente,

divergencia, rotacional y laplaciano, junto con las nociones elementales sobre transformaciones

continuas y discontinuas. Lo finalizamos con un estudio de las funciones

delta de Dirac y con la construcci´on de algunos sistemas coordenados.

Puesto que las leyes f´ısicas se expresan usualmente como ecuaciones diferenciales

(ED), exploraremos en el cap´ıtulo 2 las condiciones iniciales y/o de frontera bajo

las cuales las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y parciales (EDP) gozan de

una soluci´on ´unica. Estos teoremas de unicidad har´an parte en el cap´ıtulo siguiente

de una clasificaci´on general de las ecuaciones diferenciales.

En el cap´ıtulo 3, despu´es de una breve revisi´on de las t´ecnicas

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