Los Elementos Euclides

INTRODUCCIÓN

En la actualidad la obra de Euclides LOS ELEMENTOS es el tratado de Matemáticas que mayor influencia ha tenido a lo largo de toda la Historia de la Cultura, en este trabajo se expondrá parte de esta gran obra, pero en primer lugar ¿Quién fue Euclides?

Matemático griego (330 a.C. - 275 a.C.). Poco se conoce a ciencia cierta de la biografía de Euclides, pese a ser el matemático más famoso de la Antigüedad.

Es probable que Euclides se educara en Atenas, lo que explicaría con su buen conocimiento de la geometría elaborada en la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles. Enseñó en Alejandría, donde alcanzó un gran prestigio en el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Tolomeo I Sóter; se cuenta que éste lo requirió para que le mostrara un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas, a lo que Euclides repuso que no existía una vía regia para llegar a la geometría.

La tradición ha conservado una imagen de Euclides como hombre de notable amabilidad y modestia, y ha transmitido así mismo una anécdota relativa a su enseñanza, recogida por Juan Estobeo: un joven principiante en el estudio de la geometría le preguntó qué ganaría con su aprendizaje; Euclides, tras explicarle que la adquisición de un conocimiento es siempre valiosa en sí misma, ordenó a su esclavo que diera unas monedas al muchacho, dado que éste tenía la pretensión de obtener algún provecho de sus estudios.

Euclides fue autor de diversos tratados, pero su nombre se asocia principalmente a uno de ellos, los Elementos, que rivaliza por su difusión con las obras más famosas de la literatura universal, como la Biblia o el Quijote. Se trata, en esencia, de una compilación de obras de autores anteriores (entre los que destaca Hipócrates de Quíos), que las superó de inmediato por su plan general y la magnitud de su propósito.

De los trece libros que la componen, los seis primeros corresponden a lo que se entiende todavía como geometría elemental; en ellos Euclides recoge las técnicas geométricas utilizadas por los pitagóricos para resolver lo que hoy se consideran ejemplos de ecuaciones lineales y cuadráticas, e incluyen también la teoría general de la proporción, atribuida tradicionalmente a Eudoxo.

Los libros del séptimo al décimo tratan de cuestiones numéricas y los tres restantes se ocupan de geometría de los sólidos, hasta culminar en la construcción de los cinco poliedros regulares y sus esferas circunscritas, que había sido ya objeto de estudio por parte de Teeteto.

De hecho, Euclides estableció lo que, a partir de su contribución, había de ser la forma clásica de una proposición matemática: un enunciado deducido lógicamente a partir de unos principios previamente aceptados. En el caso de los Elementos, los principios que se toman como punto de partida son veintitrés definiciones, cinco postulados y cinco axiomas o nociones comunes.

La naturaleza y el alcance de dichos principios han sido objeto de frecuente discusión a lo largo de la historia, en especial por lo que se refiere a los postulados y, en particular, al quinto (postulado de las paralelas). Su condición distinta respecto de los restantes postulados fue ya percibida desde la misma Antigüedad, y hubo diversas tentativas de demostrarlo como teorema; los esfuerzos por hallarle una demostración prosiguieron hasta el siglo XIX, cuando se puso de manifiesto que era posible definir geometrías consistentes, llamadas «no euclidianas», en las que no se cumpliera la existencia de una única paralela trazada a una recta por un punto exterior a ella.

LOS ELEMENTOS

La principal obra de Euclides ha constituido, como autoridad indiscutida, el cuerpo de doctrina central de la totalidad de las ciencias matemáticas elementales hasta mediados del siglo XIX, del que se puede derivar el resto y ha sido a lo largo de la Historia de la Ciencia y de la Educación el principal vehículo de la transmisión del saber matemático hasta mediados del siglo XX. Pero aún hoy la carrera de Euclides no ha concluido, porque Los Elementos de Euclides siguen siendo, por una parte, una fuente inagotable de estudios epistemológicos y de investigaciones históricas, y por otra, una fuente fundamental del currículum de la Matemática elemental, que determina el contenido y el orden lógico secuencial y por tanto la ordenación curricular de los diversos temas y capítulos de los Libros de Texto de la Matemática escolar básica y secundaria.

Hemos emprendido, pues, un estudio crítico de Los Elementos de Euclides, guiados por los presupuestos que hemos señalado más arriba. Estudiamos, en una primera parte, la organización y la metodología de la obra euclidiana en cuanto al significado de Definiciones, Postulados, Axiomas y Proposiciones; sigue el contenido matemático de todos y cada uno de los libros geométricos (Libros I, II, III, IV, V, VI, X, XI, XII, XIII).

No contamos con manuscritos del propio Euclides, y sus escritos han tenido que se reconstruidos a partir de las numerosas recensiones, comentarios y notas de otros autores. Todas las ediciones en lengua inglesa y latín de los Elementos se han realizado a partir de manuscritos griegos, copias de ésta, versiones escritas de las lecciones de Teón, y un manuscrito griego del siglo X que Frangois Peyrard hallado en la Biblioteca Vaticana, y que es una copia de una edición de Euclides anterior a la de Teón. Los historiadores J. L. Hiberg y Thomas L. Heath han utilizado principalmente este manuscrito en su estudio sobre Euclides, comparándolo, claro está, con los restantes manuscritos y comentarios disponibles. También existen versiones y comentarios árabes, basados al parecer en manuscritos por Euclides; pero estas versiones árabes son en cualquier caso inferiores a los manuscritos griegos. Al apoyarse en tantas fuentes, la reconstrucción de los Elementos deja margen para la duda sobre algunas cuestiones. En particular, no sabemos con qué propósito fueron escritos; hay quienes los consideran un tratado para matemáticos formados, y quienes piensa que se trata de un texto para estudiantes. Proclo parece inclinarse por esta última opción.

La descripción del contenido de cada Libro de Los Elementos de Euclides, está precedida de un estudio general de los temas que trata aspectos de atribuciones históricas de matemáticos anteriores a Euclides, influencias ulteriores, disquisiciones, presunciones, relevancia de algunas cuestiones desde el ámbito científico o didáctico, etc. Después se describen, proposición a proposición, los diversos resultados, y en algunos problemas matemáticos escolares muy importantes se hace un estudio particular de la adaptación didáctica

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