Matematicas

DISTRIBUCION JI-CUADRADA (X2)

Se define a la Distribución Chi Cuadrado como: Aquella distribución denominada también ji-cuadrado de Pearson, es una distribución de probabilidad continua con un parámetro “k”, que representa los grados de libertad de la variable Aleatoria.

Es considerada como una prueba no paramétrica, que mide la discrepancia entre una distribución observada y otra teórica (bondad de ajuste), indicando la medida de las diferencias existentes entre ambas, y de haberlas, se deben al azar en el contraste de hipótesis, también se utiliza para probar la independencia de dos variables entre sí, mediante la presentación de los datos en tablas de contingencia

Las Pruebas de Chi Cuadrado, nos permiten verificar si más de dos proporciones de poblaciones pueden considerarse iguales. En realidad, éstas nos permiten hacer muchas cosas y no simplemente probar la igualdad de varias proporciones.

Por ejemplo: si clasificamos una población de diversas categorías respectos a dos atributos, como la edad y rendimiento en el trabajo, se puede aplicar entonces la Prueba del Chi Cuadrado, para determinar si ambos atributos son independientes entre sí.

En realidad la distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de s2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas.

Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X2. Si se elige una muestra de tamaño n de una población normal con varianza , el estadístico:

Tiene una distribución muestral que es una distribución ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se denota X2 (X es la minúscula de la letra griega ji). El estadístico ji-cuadrada esta dado por:

Donde n es el tamaño de la muestra, s2 la varianza muestral y la varianza de la población de donde se extrajo la muestra. El estadístico ji-cuadrada también se puede dar con la siguiente expresión:

Determinación De Los Grados De Libertad

El grado de libertad, es un estimador del número de categorías independientes en un test particular o experimento estadístico. Para utilizar la prueba de Chi Cuadrado, debemos calcular el número de grados de libertad (gl), mediante la aplicación de la siguiente ecuación:

gl = (número de renglones – 1)(número de columnas - 1)

gl = (r-1)(k-1). Donde “r” es el número de filas y “k” el número de columnas.

Existe un criterio de decisión para seleccionar la hipótesis, que es el siguiente:

Se acepta la hipótesis nula (H0), cuando X² < Xt² (r-1) (k-1), en tal caso que sea contrario se rechaza la hipótesis nula (H0) y se acepta la hipótesis alternativa. Donde “t” representa el valor proporcionado por las tablas, según el nivel de significancia estadístico elegido.

Características De La Distribución De Chi Cuadrado

• Es una curva asimétrica a la derecha, es decir, con sesgo positivo y las frecuencias más altas se encuentran en el lado izquierdo de la media; mientras que en el derecho hay frecuencias más pequeñas.

• A continuación se presenta una gráfica que muestra la distribución asimétrica positiva, en donde se puede apreciar que hacia el lado izquierdo de la media, van a estar las frecuencias más altas y hacia el lado derecho de la media se encuentran las frecuencias más pequeñas.

Figura N° 4. Distribución Asimétrica Positiva

Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada

1. Los valores de X2 son mayores o iguales que 0.

2. La forma de una distribución X2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X2.

3. El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.

4. Las distribuciones X2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.

5. Cuando n>2, la media de una distribución X2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).

6. El valor modal de una distribución X2 se da en el valor (n-3).

La siguiente figura ilustra tres distribuciones X2. Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) = (gl-2).

La función de densidad de la distribución X2 esta dada por:

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