Metodos Numéricos

METODOS NUMÉRICOS

Trabajo colaborativo 2

PRESENTADO POR:

GRUPO:

TUTOR:

CARLOS EDMUNDO LÓPEZ SARASTY

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

UNAD

DIC DE 2011

INTRODUCCIÓN

El segundo trabajo colaborativo del curso, pretende aplicar los conocimientos adquiridos con el estudio de la segunda unidad del módulo “Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales Sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales” por medio de ejercicios prácticos y el desarrollo de mapas conceptuales que complementan el trabajo. Con la etapa de transferencia se completa las fases de aprendizaje planteadas por la universidad para cada unidad del modulo y he aquí donde radica su importancia.

Básicamente los conceptos que se trabajaron en este trabajo son los métodos por los cuales se pueden encontrar raíces como por ejemplo; el método gráfico, el método de bisección, la regla falsa, la secante, el método de Newton-Raphson entre otros.

MAPAS CONCEPTUALES UNIDAD 2

CAPÍTULO 1.

.

CAPÍTULO 2.

DESARROLLO DE EJERCICIOS

1. Encuentre las matrices L y U, además halle la solución del

siguiente sistema:

2x1 – x2 + x3 = 5

3x1 + 3x2 - 9x3 = 6

3x1 - 3x2 + 5x3 = 8

2. Dado el sistema lineal:

x1 – x2 + ax3 = -2

-x1 + 2x2 – ax3 = 3

ax1 + x2 + x3 = 2

a) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistema no

tiene solución.

b) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistema

tiene infinitas soluciones.

c) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistema tiene

una única solución.

SOLUCIÓN:

Por definición para que un sistema de ecuaciones tenga solución, se requiere que el determinante de la matriz de coeficientes de ese sistema sea diferente a cero. Por lo tanto para saber a qué valores del parámetro "a" el sistema no tiene solución o tiene infinitas soluciones, se hace necesario calcular que valor de "a" hace que el determinante tenga valor 0. De esta forma y siendo la matriz de coeficientes:

A = ■(1&-1&a@-1&2&-a@a&1&1)

El determinante respectivo está dado por:

| A | = [ 1* 2 * 1 + (-1)(-a)a + a(-1)(1) ] - [ a * 2 * a + (-a)(1)(1) + 1(-1)(-1) ] ==>

| A | = [ 2 + a² - a ] - [ 2a² - a + 1 ] ==>

| A | = 2 + a² - a - 2a² + a - 1 ==>

| A | = -a² + 1

Si para que el sistema no tenga solución (o tenga múltiples) es necesario que | A | = 0, entonces:

| A | = 0 ==>

-a² + 1 = 0 ==>

a = 1 y a = -1

a) Obtener el valor o los valores de a para los cuales el sistema no tiene solución:

Si hacemos a = 1, podemos comprobar por simple inspección que la primera y tercera columna de la matriz son iguales; esto es suficiente para establecer que el sistema NO tiene solución para a = 1.

Si ahora hacemos a = -1 vamos a ver que la primera columna es igual a la primera fila "transpuesta". Esto implica que el rango de la matriz (el número

...