Ondas Electromagn´eticas
Enviado por mingo_2109 • 14 de Diciembre de 2013 • 4.490 Palabras (18 Páginas) • 389 Visitas
Cap´ıtulo 1
Ondas electromagn´eticas
versi´on 29 de junio de 2008
1.1. Electrodin´amica cl´asica
1.1.1. Ecuaciones de maxwell
Las ecuaciones Maxwell permiten calcular los campos el´ectrico, ~E (~r, t),
y magn´etico, ~B(~r, t), a partir de las densidades de carga el´ectrica, ρ(~r, t), y
de corriente el´ectrica, ~(~r, t):
∇ · ~E = 4πρ , ∇ × ~E= −
1
c
∂~B
∂t
, (1.1)
∇ · ~B = 0 , ∇ × ~B =
4π
c
~ +
1
c
∂~E
∂t
. (1.2)
Las ecuaciones de Maxwell son lineales y por tanto la suma de dos soluciones
a dichas ecuaciones es tambi´en una soluci´on, siendo este el principio
de superposici´on. Las ecuaciones son invariantes ante transformaciones de
Lorentz y, por tanto, consistentes con la relatividad especial (cap 4).
La primera ecuaci´on, al ser integrada sobre un volumen esf´erico de
radio r que contiene una carga total Q, da lugar a la ley de Coulomb:
~E
(r) =
Q(< r)
r2 ˆr . (1.3)
En el caso de una carga puntual positiva, las l´ıneas de campo el´ectrico
parten radialmente de la carga. Dichas l´ıneas convergen o divergen de
la carga, dependiendo de su signo (Figura 1.1).
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Figura 1.1: Las l´ıneas de campo el´ectrico divergen de una carga puntual
positiva. Para una carga negativa debemos invertir las flechas.
Siguiendo el principio de superposici´on, la ley de Coulomb para el
campo de una carga puntual q fija en el origen, ~E(~r) = qˆr/r2, da lugar
a la expresi´on general para una distribuci´on est´atica de carga, ρ(~r):
~E
(~r) =
Z ρ(~r′)
~r − ~r′
|~r − ~r′|3
d3r′ . (1.4)
La ecuaci´on 1.1 indica la inexistencia de cargas magn´eticas. Al integrarla
sobre un volumen tenemos el mismo n´umero de l´ıneas saliendo
y entrando a trav´es de la superficie A que encierra al volumen en
consideraci´on, es decir I
A
~B
· dˆa = 0 . (1.5)
lo cual puede ilustrarse con un ejemplo con simetr´ıa cil´ındrica (figura
1.2), en donde las l´ıneas que entran (~B · dˆa < 0) por la tapa inferior
son las mismas que salen (~B · dˆa > 0) por la tapa superior. En otros
t´erminos, las l´ıneas de campo magn´etico no divergen ni convergen en
ning´un punto. El punto de covergencia corresponder´ıa con una carga
magn´etica - ´o monopolo.
La ecuaci´on 1.2 corresponde a la ley de inducci´on de Faraday. Al integrar
sobre una ´area obtenemos que el voltaje inducido, ϕ, est´a dado
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Figura 1.2: L´ıneas de campo magn´etico atravesando un volumen cil´ındrico.
El n´umero de flechas entrando (por unidad de ´area) debe igualar al n´umero
de flechas saliendo, resultando en divergencia nula al integrar sobre las dos
tapas.
por el cambio con el tiempo del flujo magn´etico, m:
−ϕ =
I
C
~E
· dˆl = −
1
c
Z
A
~B ·
d
ˆa
=
−
1
c
dm
dt
, (1.6)
siendo C la trayectoria definida por la frontera de la superfice A. Un
campo magn´etico dependiente del tiempo que atraviesa un circuito
induce un campo el´ectrico, o voltaje, (fig. 1.3). La superficie A debe
ser abierta1 para que est´e definida la curva C.
La ecuaci´on 1.2 contiene la ley de Ampere y la corriente de desplazamiento
de Maxwell. De acuerdo con la ley de Ampere, que se obtiene
de integrar 1.2 con el primer t´ermino del lado izquierdo sobre una
´area cerrada, el paso de una corriente el´ectrica I da lugar al campo
magn´etico: I
C
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