POLINOMIOS DE TAYLOR

Polinomios de Taylor

La derivada es la aproximación de la función a la recta tangente y como indicadora del

comportamiento de la función

Una definición usada cuando se manejan derivadas de ordenes superiores es la siguiente:

Se dice que f es una función de clase 1 (o que es C1) es x0 si es derivable en el punto y su derivada es continua en el punto. En general, se dice de clase m (o Cm) si admite derivada hasta orden m y son todas continuas.

Si admite derivadas de cualquier orden y todas son continuas, se dice de clase ∞(C∞).

f(x) = ex es continua y derivable en IR y su derivada es f’‘(x) = ex continua en IR, luego es C1 en IR. Como su derivada es ella misma, vuelve a ser derivable y su derivada continua y, sucesivamente, es en realidad de C∞

Los polinomios son de clase 1 es IR. En efecto, son continuos y derivables, y su derivada es un polinomio, que vuelve a ser continua y derivable, etc.

Las funciones seno y coseno son C1, pues salvo signos una es la derivada de la otra y son continuas y derivables.

Cuando en el calculo de limite, estamos sustituyendo el comportamiento de la función cerca del punto por el de su recta tangente. Esta aproximación que usamos, coincide con la función en su valor y el valor de la derivada en el punto; los polinomios de Taylor que construiremos a continuación se toman para que coincida con la función en todas las derivadas.

Llamaremos polinomio de Taylor de grado n para la función f en el punto a , y lo denotaremos por P(0,0) , al polinomio:

Observamos que el polinomio de grado 1 es la recta tangente a f en el punto a, de manera que los polinomios de Taylor serán una especie de \polinomios tangentes" a la función en el punto. Al tener mayor grado que la recta tangente se espera que se parezcan mas a la función que esta, aunque dado que para su construcción únicamente usamos los valores de f y sus derivadas en el punto a, será una aproximación local

...