El método de Pothenot

METODO DE PHOTENOT

INTRODUCCIÓN

El Método Planimétrico de Intersección Inversa consiste en la determinación de la posición planimétrica de puntos, mediante observaciones angulares hechas desde éstos y dirigidas a otros puntos de coordenadas conocidas (vértices geodésicos, generalmente).Es necesario realizar al menos tres visuales a puntos de posición conocida. La obtención de las coordenadas X e Y que definan la posición planimétrica de los puntos, puede hacerse por métodos gráficos o por métodos analíticos. Los primeros se basan en conceptos puramente geométricos y los segundos en conceptos matemáticos (trigonométricos). A la vez, a los métodos analíticos y/o gráficos se les puede dar una orientación o resolución topográfica, como veremos.

El caso más general, es el que se observa en la Figura 1. Se tienen tres puntos A, B, y C de posición planimétrica conocida y se pretende calcular la posición de un punto P, estacionando en él con un Teodolito y midiendo exclusivamente los ángulos α y β.

Fig. 1

El problema planteado es comúnmente denominado Problema de Pothenot, aunque también se le conoce como Problema del Vértice de la Pirámide, Problema de los Tres Vértices, Trisección Inversa o simplemente Intersección Inversa. La solución geométrica de la Intersección Inversa, basada en el conocimiento de la Ley de igualdad de los ángulos inscritos en arcos iguales, la dio ya hace más de 2.000 años Euclides. Después fue utilizada en observaciones astronómicas por Hiparco y Ptolomeo. Pero su aplicación geodésica no se hizo hasta bien entrado el siglo XVII. El primero en resolver el Problema de la Intersección Inversa, tanto geométricamente como por cálculo trigonométrico, fue el holandés Willebord Snellius, en su obra "Eratosthenes batavus", publicada en 1.624. Este mismo problema fue tratado en1.671 por John Collins en su obra "Transactions philosophiques". Laurent Pothenot, que trabajaba en la definición del meridiano al Norte de París, presentó un trabajo sobre el tema en 1.692. Pero según opinión de W. Jordan en su Libro "TratadoGeneral de Topografía", Pothenot no aportó nada nuevo a la solución del problema y lo único que hizo es publicar con su nombre los trabajos de Snellius y Collins. Otros autores han estudiado esta materia, entre los que desatacan: Lambert (1765), Cagnoli (1786), Bessel (1813), Gauss (1823) y Gerling (1840). A pesar de todo, el problema de la Intersección Inversa sigue conociéndose popularmente como Problema de Pothenot.

METODO DE POTHENOT

El Problema de Pothenot consiste en hallar la posición de un punto utilizando como referencia la posición conocida de otros 3 a partir de los ángulos que el desconocido forma con ellos. Es equivalente a hallar la posición de un punto desde el que se ven dos segmentos dados bajo dos ángulos dados y puede resolverse por métodos gráficos o analíticos. Los segundos no son materia de este curso porque requieren trigonometría.

La solución geométrica ya fue dada por Euclides hace más de 2000 años, se basa en el arco capaz. La intersección de los dos arcos capaces correspondientes a los ángulos medidos y a los segmentos es la posición del punto.

SOLUCIÓN GRÁFICA

Solución clásica por arcos capaces

Es necesario obtener los centros de las circunferencias que pasan por los puntos ABP y BCP. Para ello trazaremos las mediatrices de los lados AB (M) y BC (N).

Trazaremos la recta AR que forma el ángulo a con el lado AB, y una perpendicular a AR que pasaría por O para obtener el centro del círculo por intersección. Haremos lo mismo con el lado BC. Obtenemos los centros O y O’, y trazando los círculos de radios OA y O’C, pasarán por B y P, siendo P la solución buscada.

Fig. 2

SOLUCIÓN ANALÍTICA

Se pretende calcular las coordenadas planimétricas del punto P a partir de los puntos conocidos A, B y C. Conocemos también los ángulos α y β, obtenidos en el terreno al estacionar un instrumento topográfico en el punto a determinar y visar a los tres vértices conocidos. El problema quedara resuelto cuando se conozcan los valores de los ángulos en A y C.

Fig. 3

Triángulo ABP AB =√(∆X + ∆Y )

APB= α

Triángulo BCP BC = √(∆X + ∆Y )

BPC= β

Para calcular los ángulos en A y C, se buscarán dos ecuaciones donde aparezcan esas incógnitas:

1ª ecuación. Se establece al igualar el lado BP de los triángulos ABP y BCP

Igualando BP queda:

Y agrupando los valores conocidos a un lado de la igualdad:

2ª ecuación. Se establece al conocer el valor de la suma de los ángulos del polígono ABCP

Despejando Cˆ en la segunda ecuación y sustituyendo en la primera se tiene:

Así

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