Probabilidad Y Estadistica

6.8 Coeficiente de determinación. Coeficiente de correlación.

Una vez ajustada la recta de regresión a la nube de observaciones es importante disponer de una medida que mida la bondad del ajuste realizado y que permita decidir si el ajuste lineal es suficiente o se deben buscar modelos alternativos. Como medida de bondad del ajuste se utiliza el coeficiente de determinación, definido como sigue

(6.15)

o bien

Como scE < scG, se verifica que 0 < R2 < 1.

El coeficiente de determinación mide la proporción de variabilidad total de la variable dependiente respecto a su media que es explicada por el modelo de regresión. Es usual expresar esta medida en tanto por ciento, multiplicándola por cien.

Por otra parte, teniendo en cuenta que i - = 1 , se se obtiene

(6.16)

Dadas dos variables aleatorias cualesquiera X e Y , una medida de la relación lineal que hay entre ambas variables es el coeficiente de correlación definido por

(6.17)

donde representa la desviación típica de la variable X (análogamente para ). Un buen estimador de este parámetro es el coeficiente de correlación lineal muestral (o coeficiente de correlación de Pearson), definido por

(6.18)

Por tanto, r . Este coeficiente es una buena medida de la bondad del ajuste de la recta de regresión. Evidentemente, existe una estrecha relación entre r y 1 aunque estos estimadores proporcionan diferentes interpretaciones del modelo:

* r es una medida de la relación lineal entre las variables X e Y.

* 1 mide el cambio producido en la variable Y al realizarse un cambio de una unidad en la variable X.

De las definiciones anteriores se deduce que:

Es importante estudiar si r es significativo (distinto de cero) ya que ello implica que el modelo de regresión lineal es significativo. Desafortunadamente la distribución de r es complicada pero para tamaños muestrales mayores que 30 su desviación típica es 1/ , y puede utilizarse la siguiente regla

En la interpretación del coeficiente de correlación se debe tener en cuenta que:

• r = ±1 indica una relación lineal exacta positiva (creciente) o negativa (decreciente),

• r = 0 indica la no existencia de relación lineal estocástica, pero no indica independencia de las variables ya que puede existir una relación no lineal incluso exacta,

• valores intermedios de r (0 < r < 1 ó -1 < r < 0) indican la existencia de una relación lineal estocástica, más fuerte cuanto más próximo a +1 (ó -1) sea el valor de r.

Para poder interpretar con mayor facilidad el coeficiente de correlación muestral se exponen varias nubes de observaciones y el ajuste lineal obtenido:

Figura 6.7. Existe una dependencia funcional

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