Producto Escalar

PRODUCTO ESCALAR O PUNTO DE DOS VECTORES

El resultado tiene valor escalar.

Hasta ahora hemos considerado que los vectores unitarios son perpendiculares. Pasamos a estudiar cuando entre ellos no hay 90º.

Procura entender bien lo siguiente:

En física, cuando aplicamos una fuerza a un cuerpo y éste se mueve decimos que hacemos un trabajo.

Sobre un suelo horizontal con un fuerza F trasladamos un peso de 100 kilos a una distancia d.

El producto nos da el valor del trabajo (T).

Esto quiere decir que:

Cuanto más fuerza tenemos que hacer, el trabajo será mayor.

Cuanto mayor sea la distancia a la que hemos desplazado el cuerpo, mayor será el trabajo que hemos hecho.

Entendemos como trabajo, en Física (mecánica), como el producto de una Fuerza por la Distancia que recorre un cuerpo al que le hemos aplicado la fuerza.

La distancia que recorre es una magnitud vectorial porque tiene una medida –módulo-, una dirección y un sentido.

Lo mismo sucede con la fuerza que hacemos sobre el objeto. Tenemos que indicar de cuanto es el valor de la misma, su dirección y sentido, incluso podemos hablar de su punto de aplicación.

La fuerza la puedes aplicar en el mismo sentido que el desplazamiento. Tal como aparece en la última figura.

Pero el ángulo que forma la fuerza con el desplazamiento puede variar entre un ángulo de 0º a 90º.

En el primer caso, el ángulo entre F y d es de 0º.

En el segundo caso, el ángulo entre F y d es de 22º.

En el tercer caso, el ángulo entre F y d es de 90º.

¿Puede influir el ángulo en la cantidad de trabajo que tenemos que hacer?

La respuesta es sí.

¿Por qué?

No es lo mismo hacer una fuerza en una dirección distinta a la del desplazamiento.

El valor de la fuerza que actúa sobre el sólido en este caso, no tiene el mismo valor que si las direcciones de la fuerza y desplazamiento coincidieran.

Cuando existe un ángulo entre F y d, tenemos que calcular la fuerza (f) que actúa en el sólido en la misma dirección que su desplazamiento:

La verdadera fuerza que actúa sobre el sólido es f. Es la fuerza que tiene la misma dirección que el desplazamiento.

La fórmula completa del trabajo será:

Volvemos al origen del tema que estamos tratando.

Producto escalar de dos vectores.

Según vemos, el producto de dos vectores F y d siendo α el ángulo entre ellos es un valor escalar que procede de multiplicar los valores escalares de dichos vectores por el coseno del ángulo.

A partir de ahora, tenemos en cuenta que dos vectores no sean perpendiculares tal como lo hemos considerado hasta ahora.

A los vectores los representamos con letras minúsculas y con una pequeña flecha sobre ellas indicando dirección y sentido: .

El producto punto o producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Expresión analítica del producto punto

Propiedades

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El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

Historia

Los vectores facilitan el estudio de los elementos del plano y los problemas que se pueden establecer entre ellos. En su origen, el concepto de vector aparece en Física para caracterizar ciertas magnitudes que poseen dirección y sentido; se emplea en Geometría para, fundamentalmente, convertir las operaciones geométricas en un cálculo. Aunque los vectores se utilizaban en Física para representar magnitudes dirigidas, las operaciones con vectores y lo que hoy en día se conoce como cálculo vectorial son un invento del siglo XIX debido al matemático inglés William Rowan Hamilton (1805–1865) y al alemán Hermann Günther Grassmann (1809–1877). Durante el siglo XIX y principios del XX, este cálculo sufrió modificaciones en su expresión original hasta convertirse en lo que hoy conocemos como vector y sus operaciones.

La historia de los vectores es sorprendente complicada para un concepto tan simple. En el plano xy, los números complejos imitan muy bien el comportamiento de los vectores. Alrededor de 1840, los matemáticos tenían interés en encontrar un sistema que hiciera en tres dimensiones lo que hacen los números complejos en dos dimensiones. Hermann Grassmann (1809-1865), en Alemania y William Rowan Hamilton (1805-01865), en Irlanda, intentaron encontrar un sistema tal.

Hamilton desarrollo el sistema de los cuaterniones, que consisten en un número real más un vector y hacen cuatro dimensiones lo que los números complejos hacen para dos dimensiones. En este sistema es de importancia el orden de los factores en la multiplicación; es decir, ab no es igual ba. Hamilton pasó el resto de su vida elaborando la teoría de los cuaterniones y tratando de que fuera aceptada en la matemática aplicada, pero encontró gran resistencia debido a la complicada naturaleza de la multiplicación de los cuaterniones. Del trabajo con cuaterniones emergieron dos tipos de productos con vectores, el producto escalar o punto y el producto vectorial o cruz.

Alrededor de 1880, el físico estadunidense Josiah Willard Gibbs (1839-1903) elaboro un algebra que contenía solo conceptos muy simples: los vectores y los productos. Estos sistemas permanecen en uso esencialmente sin cambios

Interpretación geométrica del producto escalar

El producto escalar de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

OA' es la proyección escalar de sobre el vector .

El vector proyección se calcula multiplicando la proyección escalar por un vector unitario de , de modo que obtenemos otro vector con la misma dirección.

La proyección escalar del vector u sobre v es el módulo de la proyección vectorial de u sobre v

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