Progresiones Aritméticas Y Geométricas

UNIVERSIDAD DE ORIENTE

NÚCLEO DE SUCRE- CARUPANO

MATEMÁTICAS I (C.E.)

Progresiones Aritméticas y Progresiones Geométricas

Series: Se define como una sucesión de términos (a1, a2, a3, a4,…) formados de acuerdo a una ley. Por ejemplo: 1, 2, 4, 8, … es una serie cuya ley es que cada término se obtiene multiplicando por 2 el término anterior; así mismo, 1, 3, 5, 7 es una serie cuya Ley es que cada término se obtiene sumando 2 al término anterior.

En este sentido, las llamadas “Progresiones” son definidas como una sucesión de términos (series) que siguen una determinada ley; y según las características de dicha ley se clasifican en Progresiones Aritméticas y Progresiones Geométricas.

PROGRESIONES ARITMÉTICAS:

Una progresión aritmética es una sucesión de números en la cual cada término después del primero se obtiene sumándole al término anterior una cantidad constante denominada Razón.

La razón (o diferencia como también se conoce) se denota con la letra R, y cumple la siguiente condición:

Si R es positiva, es decir si R > 0, la progresión es creciente.

Si R es negativa, es decir, si R < 0, la progresión es decreciente.

Ejemplos:

La progresión 1, 4, 7, 10, 13,…

Es una progresión creciente, con R=3, a1=1; a2= 4, a3= 7 y a4=13

La progresión 22, 20, 18, 16, …

Es una progresión decreciente, con R=-2, a1= 22, a2= 20, a3=18, a4= 16.

Cálculo del n-ésimo término de una Progresión Aritmética:

Sea la Progresión a1, a2, a3, a4,…,an, con n € Z+, conociendo un i-ésimo término y la razón se puede determinar el n-ésimo término con la siguiente relación:

a_n=a_i+(n-i).R, con n > i

Donde:

an: n-ésimo término de una progresión aritmética

n: números de términos

ai: i-ésimo término de la progresión

R: Razón de la progresión.

De esta fórmula se deducen otras que nos permiten obtener la razón, el número de términos e incluso un término cualquiera de la sucesión:

R= (a_n-a_i)/((n-i)) ; n= (a_n-a_i)/R+i ; 〖 a〗_i= a_n-(n-i).R

Ejemplo:

El sexto término de una progresión aritmética es 4 y la razón es 2, hallar el término 20 en dicha sucesión.

Datos:

ai= a6= 4

R= 2

i= 6

n= 20

an= a20= ? a_n=a_i+(n-i).R

a_20=4+(20-6).2

a_20=4+14.2

a_20=4+28

a_20=32

Ejercicio: Obtenga a1 y ordene la progresión.

Suma de los n primeros términos de una Progresión Aritmética:

Sean a1, a2, a3, a4,…, an, los n primeros términos de una progresión aritmética; entonces la suma de los n primeros términos se denota por Sn y está dada por:

Sn= a1 + a2 + a3 + a4 + …+ an

Que se reduce a: Sn=(n.(a_1+ a_n))/2

Ejemplo:

Hallar la suma de los 5 primeros términos de una progresión aritmética, si el primer término es 3 y la razón es 4.

Datos:

S5= ?

a1= 3

R= 4 Sn=(n.(a_1+ a_n))/2

a_n=a_i+(n-i).R S_5=(5.(3+ 19))/2

a_5=3+(5-1).4 S_5=5x22/2

a_5=3+4.4 S_5=110/2

a_5=3+16 S_5=55

a_5=19

Ejercicio: Demuestre manualmente este resultado.

Medios Aritméticos:

En una progresión aritmética se llaman “medios aritméticos” a los términos que se encuentran entre un i-ésimo y el n-ésimo término de dicha progresión (donde i<n). En relación a esto cabe destacar que los téminos ai y an, encierran entre sí a los medios aritméticos respectivos y cuyos valores dependen de la razón; de tal manera que ai y an son denominados extremos.

Ejemplo:

Dada la progresión aritmética 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, se tiene que:

2 y 14 son los extremos

4, 6, 8, 10, 12, son medios aritméticos entre 2 y 14

Interpolación de Medios Aritméticos:

Interpolar medios aritméticos consiste en formar una progresión aritmética a partir de dos números dados a1 y an los cuales representan los extremos. Según sea la cantidad de términos que se requieran interpolar (medios aritméticos), a los extremos; se puede calcular la razón con la cual es posible construir la progresión en cuestión; es decir, dados a1 y an, se calcula R, con R= (a_n-a_i)/((n-i) ).

Nota: Debe tenerse en cuenta que el número de términos de la progresión construida, es decir, el valor n es igual a la cantidad de medios

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