Regla Y Compas

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El enunciado del problema

Se trata de resolver el siguiente problema: Construir, utilizando solamente regla y compás, la arista de un cubo que duplique el volumen de un cubo conocido.

El problema de la duplicación del cubo se caracteriza por la ecuación: en que a es la arista del cubo conocido y x es la arista que tendrá el cubo de volumen doble.

Un simple análisis de construcciones con regla y compás revela, empleando algunas nociones de geometría analítica, que los segmentos construidos a partir de otros segmentos dados, son expresables por raíces cuadradas y al iterar esas construcciones aparecen nuevamente sólo raíces cuadradas y nunca de otro índice.

Ahora en el problema de la duplicación del cubo, el elemento de solución de este problema no es expresable por raíces cuadradas de las que pueden construirse con regla y compás, ya que como; por tanto, y no puede construirse solo con regla y compás.

Como surgió el problema históricamente

En el año 429 a. C., Pericles, gobernador de Atenas por esa época, muere víctima de la peste que atacaba muy severamente la ciudad. A raíz de este suceso algunos de los habitantes deciden ir a la ciudad de Delfos para hacer consultas al Oráculo de Apolo y saber cómo poder detener la epidemia. La respuesta a la consulta del Oráculo es que deben elaborar un nuevo altar en forma de cubo cuyo volumen duplique el del altar que ya existe. Lo intentaron, es muy seguro, pero también fue igualmente seguro que no lograron evitar el desastre por este medio. La pandemia se disipó con el tiempo, pero el problema matemático planteado permaneció.

De esta forma se inicia lo que se denominará uno de los problemas clásicos de las matemáticas: la duplicación del cubo

Hay dos narraciones diferentes dadas por comentadores posteriores sobre los orígenes del problema. Teón de Esmirna cita una obra de Eratóstenes (ver Heath [2]):

Eratóstenes, es su obra titulada Platonicus relata que, cuando el dios anunció a los delianos a través del oráculo que, para deshacerse de una plaga, debían construir un altar del doble del que había, sus artesanos quedaron desconcertados en sus esfuerzos por descubrir cómo podían hacer un sólido que fuera el doble de otro sólido similar; por ello fueron a preguntarle al respecto a Platón, quien respondió que el oráculo quería decir no que el dios quisiera un altar del doble del tamaño sino que deseaba, al imponerles la tarea, avergonzar a los griegos por su descuido de las matemáticas y su desprecio por la geometría.

La plaga sin duda fue un evento importante en la historia de Atenas y aproximadamente un cuarto de la población murió por esta causa. Esto sucedió alrededor del 420 a.C. así que de haber algo de verdad en esta leyenda al menos podemos dar una fecha razonablemente exacta para la aparición del problema. Esto también es consistente con una contribución anterior de Hipócrates al problema.

Eutocio, en su comentario a Sobre la esfera y el cilindro de Arquímedes, dio una versión un tanto distinta. Esta se supone que es una carta escrita por Eratóstenes al Rey Tolomeo y, aunque la carta es una falsificación, el escritor sí cita algunos escritos genuinos de Eratóstenes [1]:

Eratóstenes al Rey Tolomeo, saludos.

La anécdota dice que uno de los poetas trágicos antiguos representaba a Minos haciendo construir una tumba para Glauco y que, cuando Minos descubrió que la tumba medía cien pies de cada lado, dijo 'Demasiado pequeña es la tumba que habéis señalado como el sitio real de descanso. Hacedla el doble de grande. Sin arruinar la forma, rápidamente duplicad cada lado de la tumba'. Esto claramente era un error. Ya que si los lados se duplican, la superficie se multiplica por cuatro y el volumen por ocho.

Esta anécdota relata un episodio de la mitología griega más que hechos históricos. Sin embargo, los descubrimientos en Cnosos, en Creta, en tiempos relativamente recientes han mostrado que, al menos parcialmente, estos cuentos de la mitología están basados en acontecimientos históricos. La mitología relata que Glauco, el hijo de Minos, el rey de Creta y de su esposa Parsifae, murió siendo niño al caer en un recipiente de miel.

Los orígenes del problema de duplicar el cubo pueden ser un tanto oscuros como acabamos de ver, pero no queda duda de que los griegos sabían desde mucho antes cómo resolver el problema de duplicar el cuadrado. Así, tomar un cuadrado ABCD y dibujar la diagonal DB. Construir un cuadrado BDEF usando BD. De ahí es fácil ver que BDEF es el doble de ABCD. Duplicar el rectángulo es un poco más difícil pero también sabían cómo hacerlo y Euclides lo presenta en el Libro II de los Elementos y claramente es parte de un trabajo muy anterior.

El primer paso importante en la duplicación del cubo fue dado por Hipócrates, probablemente no mucho después de que el problema apareciera por primera vez. Sin embargo parece posible que ya antes estuvieran pensando en una forma más general del problema:

i. Encontrar un cubo tal que su razón a un cubo dado sea igual a la razón entre dos líneas dadas.

Hipócrates redujo el problema a:

ii. Dadas dos líneas, encontrar dos medias proporcionales entre ellas.

Es decir, dadas las líneas a, b encontrar x, y tales que a : x = x : y = y : b.

Con nuestra comprensión moderna de la proporción es fácil ver que (i) y (ii) son equivalentes ya que

a3 : x3 = (a:x)3 = (a : x)(x : y)(y : b) = a : b

Así que si nos dan un cubo de lado a y queremos construir un cubo b : a veces el volumen, entonces necesitamos construir un cubo de lado x.

Ahora muchos artículos sobre la duplicación del cubo dan el argumento del párrafo anterior para demostrar el resultado de Hipócrates de que (i) y (ii) son equivalentes; ver por ejemplo [3]. Pero como se señala en [8], este tipo de argumentos no los tenía Hipócrates así que hay que tener en cuenta no solamente cómo demostró la equivalencia sino también cómo fue que Hipócrates pensó en el resultado para empezar. No hay manera de conocer con seguridad las respuestas a estas preguntas. Sin embargo hay pistas que vienen del problema del caso bidimensional. Euclides en los Elementos demuestra que los siguientes dos problemas

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