Solidos De Revolucion

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN: MÉTODO DE DISCOS

Tabla De Contenidos

1. Introducción.

2. Objetivos

3. Definición de sólidos de revolución.

4. Método de disco

1. Definición

2. Fórmula general

3. Ejercicios resueltos

4. Ejercicios propuestos

5. Conclusiones

6. Recomendaciones

7. Bibliografía

Objetivos

- Aplicar los conocimientos adquiridos sobre integración en el presente curso de Cálculo en la resolución de problemas de la vida diaria.

- Determinar volúmenes de sólidos irregulares empleando uno de los métodos existentes, en nuestro caso el de discos.

Marco Teórico

Volúmenes De Revolución

Introducción

Si una región plana, situada completamente a un lado de una línea fija en su plano, gira alrededor de este, entonces se genera un sólido de revolución. La recta fija se llama eje del sólido de revolución.

Si la región limitada por un semicírculo y su diámetro gira entorno a este, genera un sólido esférico. Si la región interior de un triangulo rectángulo gira alrededor de uno de sus catetos, genera un sólido cónico. Cuando una región circular gira alrededor de una recta en un plano que no se intersecta al circulo genera un toro (dona). En cada caso, es posible representar el volumen como una integral definida.

.

Método De Discos

Si

giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El más simple de ellos es el cilindro circular recto o disco, que se forma al girar un rectángulo alrededor de un eje adyacente a uno de los lados del rectángulo.

Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular el volumen de un sólido de revolución general, consideremos una función continua f (x) definida en el intervalo [a,b], cuya gráfica determina con las rectas x = a, x = b, y = 0, el recinto R. Si giramos este recinto alrededor del eje OX, obtenemos un sólido de revolución. Se trata de hallar el volumen de este cuerpo engendrado por R. Para ello hay que seguir un proceso similar al realizado en la definición de integral definida. . Elegimos una partición regular de [a, b]:

Desarrollo Del Tema

Sólidos de Revolución

Definición: Si una gráfica de una función continua f(x) en el intervalo [a,b] se hace girar sobre el eje x, a la superficie bajo la curva se le denomina “área generatriz”, a la superficie delimitada por f(x) al girar se le llama “superficie de revolución” y al volumen delimitado por la superficie de revolución se le llama “sólido de revolución”. La rotación no necesariamente se debe de efectuar sobre el eje x, pero sin pérdida de generalidad el eje siempre se puede

ubicar en esa posición.

Para determinar el volumen de este tipo de sólidos, seguiremos un procedimiento similar al utilizado para el área de una región, aproximando el “volumen” de un sólido de revolución por medio de una suma de volúmenes de sólidos más elementales, en los que el volumen ya ha sido definido.

Vamos a considerar discos o cilindros circulares como los sólidos elementales, suponiendo que el volumen de un disco circular es, por definición, el producto del área [pic]de la base por el espesor [pic](o altura).

|[pic] |

Consideremos una partición Pn del intervalo [a,b] determinada por el conjunto de números

[pic]

donde [pic], con [pic].

Sea [pic]un aumento de [pic].

Consideremos ahora los [pic]discos circulares, cuyos sensores son [pic], y cuyas bases tienen radios [pic].

|[pic] |

El volumen del [pic]ésimo disco es: [pic]

La suma [pic] de los volúmenes de los [pic]discos nos da una aproximación al volumen del sólido de revolución.

Podemos suponer que mientras más delgados sean los discos, mayor será la aproximación de la suma anterior al volumen del sólido. Se tiene entonces la siguiente definición:

Si existe un número [pic]tal que

dada [pic]exista [pic]para la cual [pic]

para toda partición [pic]de [pic]y todo aumento [pic]de [pic], y con [pic], este número [pic]es el volumen del sólido obtenido por revolución del área limitada por las gráficas de [pic]alrededor del eje [pic].

Si [pic]es la función dada por [pic]para [pic], entonces la suma de aproximación: [pic]utilizada en la definición del volumen del sólido de revolución, puede escribirse como:

[pic] donde [pic].

Luego, de la definición de integral y de la definición de [pic]dada, se tiene que

[pic]

El “disco” señalado en azul en la figura tiene radio f(x) de ahí empleando el área del círculo se obtiene la expresión previa.

Ejercicios resueltos

1.- El cono lo genera la región que se encuentra entre la recta [pic], y el eje x, entre x =0 y x = h, al girar en torno del eje x. Por la fórmula del disco, el volumen del cono es:[pic]

2.- Hallar el volumen de un cilindro de altura h y radio r.

El cilindro se genera cuando gira en torno del eje x la región que está entre la recta y = r y el eje x, entre x =0 y x = h. Por la fórmula del disco,

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