TRABAJO COLABORATIVO FASE 3

TRABAJO COLABORATIVO FASE 3

Entregado por:

JULIE HERMENCIA LADINO

Tutor:

JAVIER FERNANDO MELO CUBIDEZ

Calculo Integral

100411_189

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)

Escuela de Ciencias Agrícolas y Pecuarias del Medio Ambiente (ECAPMA)

Ingeniería Ambiental

2014

4. Hallar la longitud de la curva cos⁡〖(x)=e^y 〗 para x entre π/6 y π/3

De la formula: L=∫_a^b▒√(1+[f^' (x)]^2 ) dx

por propiedades de Logaritmo natural

〖ln⁡(e〗^x)=x

logaritmo natural en ambos lados de la ecuación:

cos⁡〖(x)=e^y 〗

ln⁡〖(cos〗⁡〖(x))=〗 ln⁡〖e^y 〗

ln⁡〖(cos〗⁡〖(x))=〗 y

f(x)=ln⁡(cos⁡(x))

Derivamos f(x)

d/dx (ln⁡(x) )=1/x x'

d/dx ln⁡(cos⁡(x) )=1/cos⁡x (-sin⁡x)

f^' (x)=(-sin⁡x)/cos⁡x =-tan⁡x dx

Reemplacemos en la formula:

L=∫_(π/6)^(π/3)▒√(1+[-tan⁡x ]^2 ) dx

L=∫_(π/6)^(π/3)▒√(1+tan^2⁡x ) dx

Por propiedades trigonométricas:

sec⁡θ=√(1+tan^2⁡θ )

L=∫_(π/6)^(π/3)▒sec⁡x dx

Integremos por propiedades:

L=[ln⁡(sec⁡x )+tan⁡x ]_(π/6)^(π/3)

Evaluando:

L=(ln⁡(sec⁡〖π/3〗 )+tan⁡〖π/3〗 )-(ln⁡(sec⁡〖π/6〗 )+tan⁡〖π/6〗 )

La longitud de la curva es de L=1,704

Hallar el volumen generado por la rotación del área del primer cuadrante Limitada por la parábola y 2 = 8 x y la ordena correspondiente a x = 2 con Respecto al eje y, como lo muestra la figura.

Nótese que se forman discos de radio 2 – x y altura ∆y; dichos discos ocupan un intervalo en la ordenada de -4≤y≤4, luego:

V=∫_(-4)^4▒〖π(2-x)^2 dy〗

Dado que

y^2=8x, y^2/8=x

V=2π∫_0^4▒〖(2-y^2/8)^2 dy〗=2π∫_0^4▒(4-y^2/4+y^4/64)dy

V=├ 2π(4y-y^3/12+y^5/320)┤| 4¦0=2π(4(4)-(4)^3/12+(4)^5/320)=256π/15

6. El volumen del solido de revolución generado cuando la región limitada por las graficas de las ecuaciones y , gira alrededor del eje Y, es.

La región en el plano X Y que gira alrededor del eje Y es el siguiente:

Se tiene el radio del solido generado que es x= √y

El volumen del elemento es

V=πr^2.h

V=π[√(t^2 )].∆y

El volumen del solido está dado por

V= ∫_0^4▒〖π[√(y^2 )].dx〗

V=∫_0^4▒〖π y dx〗

V=(πy^2)/2 |■(4@0)┤

...