Trabajo Colaborativo 3, Cálculo Diferencial

1.

Derivamos

y^'=2x-3

Igualamos a cero:0=2x-3

2x=3

x=3/2

El punto crítico es x=3/2 en éste punto hay una recta horizontal, ahora hayamos si es un máximo o un mínimo

Tomando un valor anterior y uno posterior a x=3/2,serían x_1=1 y x_2=2 y los reemplazamos en la primera derivada y así analizamos el comportamiento:

y^' (x_1 )=2(1)-3

y'(x_1)=-1

Luego

y^' (x_2 )=2(2)-3

y^' (x_2 )=1

Análisis: Debido que en el punto x_1 la pendiente viene en forma negativa y después de pasar por el punto crítico, el punto x_2la pendiente es positiva, podemos decir que el punto x=3/2 es un mínimo de nuestra ecuación, hallando la coordenada de éste máximo, en nuestra función original tenemos:

y=(3/2)^2-3(3/2)-2

y=9/4-9/2-2

y=-17/4

El punto mínimo será en el punto (3/2,-17/4)

2.

Derivamos

y^'=6x-12

Igualamos a cero,0=6x-12

6x=12

x=12/6

x=2

El punto crítico es x=2 en éste punto hay una recta horizontal, ahora hayamos si es un máximo o un mínimo

Tomando un valor anterior y uno posterior a x=2,serían x_1=1 y x_2=3 y los reemplazamos en la primera derivada y así analizamos el comportamiento:

y^' (x_1 )=6(1)-12

y^' (x_1 )=-6

Luego

y^' (x_2 )=6(3)-12

y^' (x_2 )=6

Análisis: Debido que en el punto x_1 la pendiente viene en forma negativa y después de pasar por el punto crítico, el punto x_2la pendiente es positiva, podemos decir que el punto x=2 es un mínimo de nuestra ecuación, hallando la coordenada de éste máximo, en nuestra función original tenemos:

y=3(2)^2-12(2)

y=3(4)-24

y=-12

El punto mínimo será en el punto (2,-12)

Usado la Regla de L’Hopital, paso a paso, halle el límite 3, 4 y 5:

Hallamos el límite en el valor x=0, entonces

(∛(3(0)+1)-1)/0

(∛1-1)/0

(1-1)/0

0/0

Llegamos a la forma indeterminada 0/0 así que podemos aplicar la regla de L’hopital

Entonces, aplicando ésta, derivamos el numerador y el denominador de forma independiente

lim┬(x→0)⁡〖(1/3 (3x-1)^(-2/3)*3)/1〗

Ahora hallamos nuevamente el límite

lim┬(x→0)⁡〖3/(3〖∛(3x-1)〗^2 )〗

lim┬(x→0)⁡〖1/〖∛(3x-1)〗^2 〗

Evaluando, tendríamos

1/〖∛(3(0)-1)〗^2

1/〖∛(-1)〗^2

1/〖-1〗^2

1 R.

Hallamos el límite en el valor x=1, entonces

(1-(1)^2)/sin⁡〖(π*1)〗

(1-1)/sin⁡π

0/0

Llegamos a la forma indeterminada 0/0 así que podemos aplicar la regla de L’hopital

Entonces, aplicando ésta, derivamos el numerador y el denominador de forma independiente

lim┬(x→0)⁡〖(-2x)/πcos⁡πx 〗

Ahora hallamos nuevamente el límite, evaluando tendríamos

(-2(1))/(π cos⁡π (1) ),el cos⁡〖π=-1,en radianes〗

(-2)/π(-1)

(-1)/(-π)

2/π R.

Hallamos el límite en el valor x=0, entonces

(e^2(0) -1)/0

(e^0-1)/0

(1-1)/0

0/0

Llegamos a la forma indeterminada 0/0 así que podemos aplicar la regla de L’hopital

Entonces, aplicando ésta, derivamos el numerador y el denominador de forma independiente

lim┬(x→0)⁡〖(e^2x*2)/1〗

Ahora hallamos nuevamente el límite

lim┬(x→0)⁡〖e^2x*2〗

Tendríamos

e^2(0) *2,por propiedades e^0=1

2 R.

Halle paso a paso la tercera derivada de:

...