Vibracion Libre Amortiguada Y Sin Amortiguar

Vibración libre sin amortiguamiento

Una vibración es el movimiento periódico de un cuerpo o de un sistema de cuerpos conectados desplazados desde una posición de equilibrio. En general, hay dos tipos de vibración: libre y forzada.

La vibración libre ocurre cunado el movimiento es mantenido por fuerzas restauradoras gravitatorias o elásticas, como el movimiento oscilatorio de un péndulo o la vibración de una barra elástica.

La vibración forzada proviene de una fuerza externa periódica o intermitente aplicada al sistema. Ambos tipos de vibración pueden ser amortiguadas o no amortiguada.

Las vibraciones no amortiguadas pueden continuar indefinidamente debido a que los efectos de fricción son despreciados en el análisis. De hecho, ya que tanto las fuerzas de fricción externas como las internas están presentes, el movimiento de todos los cuerpos en vibración es en realidad amortiguado.

El tipo más simple de vibración no amortiguada es la mostrada a continuación

El bloque de masa m esta unido a un resorte con rigidez k. El movimiento vibratorio ocurre cuando el bloque es liberado desde una posición desplazada x de manera que el resorte tire de él. El bloque alcanzara una velocidad la cual no estará en equilibrio cuando x=0, si la superficie es liza, la oscilación, continuara indefinidamente.

La trayectoria del bloque que depende del tiempo puede determinarse por la ecuacion, cuando este en la posición desplazada. La fuerza elástica restauradora F=kx esta dirigida siempre a la posición de equilibrio, mientras que la aceleracion a se supone siempre actuando en posición del desplazamiento positivo. Observando que a=d2x/dt2=x”.

Tenemos:

Advierta que la aceleración es proporcional al desplazamiento del bloque. el movimiento descrito de esta manera se denomina movimiento armonico simple. Reordenando los términos tenemos que:

La constante ѡn es llamada frecuencia circular o natural, expresada en rad/s, y en este caso.

Tambien puede considerarse esta ecuación si el bloque esta suspendido y se mide el desplazamiento desde la posición de equilibrio del bloque (1-22b). Cuando el bloque esta en equilibrio el resorte ejerce una fuerza de F=W=mg sobre el bloque.

Por consiguiente, cuando el bloque es desplazado una distancia hacia abajo desde esta posición, la magnitud de la fuerza en el resorte es F=W+ky, aplicando la ecuación de movimiento resulta.

O bien.

La ecuación 22-1 es una ecuación lineal, diferencial, homogénea, de segundo orden con coeficientes constantes. Se puede mostrar usando, los métodos de las ecuaciones diferenciales que la solución general es.

Donde A y B representan 2 constantes de integración. La velocidad y aceleración del bloque son determinadas tomando derivadas sucesivas con respecto al tiempo lo que resulta en.

Cuando las ecuaciones 22-3 y 22-5 son sustituidas en 22-1, la ecuación esta diferencialmente satisfecha, mostrando que la eq. 22-3 es la solución de la eq. 22-1.

Las constantes de integración A y B en la ecuación 22-3, generalmente son determinadas a partir de las condiciones iniciales del problema.

Suponga que el bloque de la figura 22-1ª a sido desplazado una distancia x1 hacia la derecha de su posicion de equilibrio y se le a dado una velocidad inicial positiva v1 dirigida hacia la derecha. Sustituyendo x=x1 en t=0 en la ecuación 2-23 B=x1. Como v=v1 en t=0, usando la ecuación 22-4 obtenemos A=v1/ѡn si estos valores son sustituidos en 22-3, la ecuación que describe el movimiento es.

La ecuación 22-3 tambien puede ser expresada en términos de movimiento senoidal simple.

Donde C y Ø son nuevas constantes por determinar en ves de A y B sustituyendo en 22-3 resulta.

Como sean (θ + Ø) = cos Ø sen θ + sen Ø cos θ, tenemos

Si esta ecuación es graficada sobre un eje x y contra un eje ѡn t, se obtiene la grafica mostrada en la figura 22-3

El desplazamiento máximo del bloque desde su posición de equilibrio es definido como la amplitud de la vibración. A partir de la figura o de la ecuación 22-9, la amplitud es C el angulo Ø se llama angulo de face ya que representa la cantidad que la curva es desplazada desde el origen cuando t=0.

Las constantes C y Ø están relacionadas con A y B mediante las ecuaciones 22-7 y 22-8. Elevando al cuadrado y sumando estas 2 ecuaciones, la amplitud se convierte en.

si la ecuación 22-8 es dividida entre la ecuación 22-7, el angulo de face es.

Observe que la curva seno, ecuación 22-9 completa cun ciclo en t=r cuando ѡnr=2π

Este intervalo de tiempo se llama periodo, fig 22-3. Usando la ecuación 22-2 el periodo se puede representar como.

La frecuencia es definida como el numero de ciclos completados por unidad de tiempo, y es reciproco del periodo.

O bien

Cuando un cuerpo, o un sistema de cuerpos representados, experimenta un desplazamiento inicial desde su posición de equilibrio y es liberado. Vibrara con frecuencia natural, ѡn. si el cuerpo tiene un solo grado de libertad, eso es, si solo requiere de una coordenada para especificar completamente la posición del sistema en cualquier momento, entonces el movimiento vibratorio del cuerpo tendrá las mismas características del movimiento armonico simple del bloque y el resorte que acabamos de representar.

En consecuencia, el movimiento del cuerpo esta descrito por una ecuación diferencial de la misma “forma estándar”

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