Límites Y Continuidad

LÍMITES

CONCEPTOS BÁSICOS

Función

En matemáticas, una función es el conjunto de pares ordenados de números ( x,y ) en los que no existen dos pares ordenados diferentes con el mismo primer número, también se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π•r2. Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, T = d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se le denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente.

Dominio

Es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a “X” (variable independiente) forman el conjunto de partida. Gráficamente lo miramos en el eje horizontal (abscisas).

Rango

Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso se denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "X". Gráficamente lo miramos en el eje vertical (ordenadas).

DEFINICIÓN

La idea intuitiva de límite forma parte del acervo popular. Tender a un límite significa aproximarse a una meta, que no siempre se logra alcanzar. En el ámbito matemático, esta idea se ha plasmado en una definición precisa que combina los conceptos de lo infinitamente pequeño (infinitésimos) y lo infinitamente grande (el infinito).

Se dice que una función f (x) tiene límite L en el punto x = a, si es posible aproximar f (x) a L tanto como se quiera cuando x se acerca indefinidamente a a, siendo distinto de a. En términos matemáticos, se expresa como:

Dado el punto a, y según la anterior definición, existen dos formas de aproximar x a a: desde valores x > a (por la derecha) y desde valores x < a (por la izquierda). En cada caso se obtienen valores denominados límite por la derecha (x®a+) y límite por la izquierda (x®a-). Por definición, para que exista el límite de una función ha de cumplirse que existan los dos límites laterales (por la derecha y por la izquierda) y que ambos sean iguales. Ello se expresa como:

PROPIEDADES

Dadas dos funciones f(x) y g(x) que tienen límite en un punto a, se cumplen las siguientes propiedades:

El límite de la suma de ambas funciones es igual a la suma de los límites.

El límite de la diferencia se calcula como la diferencia de los límites.

El límite del producto de las funciones es igual al producto de sus límites.

El límite del cociente entre ambas funciones es igual al cociente entre los límites, siempre y cuando el límite del denominador sea distinto de cero.

El límite del producto de una constante por una función viene determinado por la multiplicación de la constante por el límite de la función.

Estas propiedades se expresan matemáticamente como sigue:

EJEMPLOS

Ejemplo 1:

Consideremos la función f(x)=(x+1)/(x-2) y tratemos de calcular su límite cuando x tiende a 2. Tomamos la sucesión an = {1-1,9-1,99-1,999-1,9999-....} y veamos a qué valor se aproxima f(an), para ello construimos la siguiente tabla:

an 1 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 1,999999 ..... 2

...