CADENAS DE MARKOV

CADENAS DE MARKOV

Una cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediatamente anterior. Es decir, las cadenas de este tipo tienen memoria. "Recuerdan" el último evento y esto condiciona las posibilidades de los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como es el lanzar una moneda al aire o un dado.

En los negocios, las cadenas de Markov se han utilizado para analizar los patrones de compra de los consumidores, para pronosticar las concesiones por deudores morosos para planear las necesidades de personal y para analizar el reemplazo de equipo.

Matriz de transición: Es aquella matriz que esta formada por las probabilidades condicionales o de transición de moverse de un estado a otro y cada fila debe ser un vector de probabilidad, por lo tanto la suma de los elementos de cada fila debe ser 1 y todos los elementos de la matriz deben ser mayores o iguales a cero.

Las cadenas de Markov poseen una propiedad en cuanto a que tienden a aproximarse a lo que se llama estado estable.

Ejemplos:

1.- Un proceso de producción contiene una máquina que se deteriora con rapidez bajando tanto en la calidad como en el rendimiento de su producción, bajo un uso pesado, de modo que se inspecciona periódicamente, digamos al final de cada día. Inmediatamente después de la inspección, se observa la condición de la máquina y se clasifica en uno de cuatro estado

ESTADO | CONDICION

0 | Buena como nueva.

1 | Operable ( deterioro menor ).

2 | Operable (deterioro importante ).

3 | Inoperable ( producción de calidad inaceptable ).

La Matriz de transición es la que se entrega a continuación:

Estado | 0 1 2 3 .

0 | 0 7/8 1/16 1/16

1 | 0 3/4 1/8 1/8

2 | 0 0 1/2 1/2

3 | 0 0 0 1

Supuesto: Los costos en que se incurre mientras el sistema se desarrolla contienen varios componentes. Así, si el sistema está en el estado 0, 1 ó 2, pueden producirse unidades

defectuosas en el día siguiente y los costos esperados serían:

| COSTO ESPERADO DEBIDO A LA PRODUCCION

ESTADO | DE ARTICULOS DEFECTUOSOS DEL DIA SIGUIENTE

0 | 0

1 | $ 1.000

2 | $ 3.000

Si se reemplaza la máquina se incurre en un costo de reemplazo de $ 4.000, junto con un costo de producción perdida (utilidad perdida) de $ 2.000. Por lo tanto, el costo total del sistema en el estado 3 es de $ 6.000.

Con la política de mantenimiento antes mencionada, es decir, reemplazar una máquina inoperable, nuestra matriz de transición, se transforma en:

Estado | 0 1 2 3 .

0 | 0 7/8 1/16 1/16

1 | 0 3/4 1/8 1/8

2 | 0 0 1/2 1/2

3 | 1 0 0 0

En el estado 3 existe un reemplazo, por lo tanto en el estado 0 se pone un 1 porque la máquina queda " tan buena como nueva ".

DETERMINACION DEL COSTO DE LA POLITICA DE MANTENIMIENTO:

En base a la matriz de transición anterior, se plantea un sistema de ecuaciones simultáneas, denominado estado estacionario, que se pueden escribir, como:

0 = 3 |

1 = 7/8 0 + 3/4 1 |

2 = 1/16 0 + 1/8 1 + 1/2 2 |

3 = 1/16 0 + 1/8 1 + 1/2 2 |

0 + 1 + 2 + 3 = 1 |

___________________________|

la solución del sistema es:

0 = 2/13 1 = 7/13 2 = 2/13 3 = 2/13.

De donde, el costo promedio esperado a largo plazo por día, está dado por:

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