Ecuaciones Diferenciales
Enviado por sharom • 24 de Agosto de 2012 • 5.384 Palabras (22 Páginas) • 850 Visitas
Estas notas pretenden mostrar una breve
historia de las ecuaciones diferenciales. Se ha
pretendido dar m´s ´nfasis a las ideas que aa e
las biograf´ de los matem´ticos creadores deıasa
la teor´ En la siguiente direcci´nıa.o
http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk
se halla una colecci´n de biograf´ de losoıas
matem´ticos m´s famosos.aa
La mayor parte de estas notas hist´ricaso
est´ sacadas de [1].a
6
ds
dx
dy
-
Figura 1: El tri´ngulo caracter´aıstico.
En 1690, Jacques Bernouilli plante´ el pro-o
blema de encontrar la curva que adopta una
cuerda flexible, inextensible y colgada de dos
puntos fijos, que Leibniz llam´ catenaria (delo
lat´ cadena). Galileo pens´ que esta cur-ıno
va era una par´bola, mientras que Huygensa
prob´ que esto no era correcto.o
6
c
c
1. Ecuaciones diferenciales de 1er orden
Los primeros intentos para resolver proble-
mas f´ısicos mediante el c´lculo diferencial aa
finales del siglo XVII llevaron gradualmente
a crear una nueva rama de las matem´ticas,a
a saber, las ecuaciones diferenciales. A media-
dos del siglo XVIII las ecuaciones diferenciales
se convirtieron en una rama independiente y
su resoluci´n un fin en s´ mismo.oı
Ya Newton (los creadores del c´lculo in-a
finitesimal fueron Leibniz y Newton) ob-
serv´ que si dn y/dxn = 0, entonces y(x) eso
un polinomio de grado n − 1, en particular, y
depende de n constantes arbitrarias, aunque
esta afirmaci´n tuvo que esperar hasta el sigloo
XIX para poder ser demostrada con rigor (la
demostraci´n est´ndar actual usa el teoremaoa
del valor medio). Los matem´ticos de la ´pocaae
con frecuencia usaban argumentos f´ısicos: si
y(t) denota la posici´n en el tiempo t de unao
part´ıcula, entonces dy/dt es su velocidad. Si
dy/dt = 0, se tiene que la velocidad es nula, es
decir, la part´ıcula no se mueve y su posici´n,o
por tanto, permanece constante.
En 1693 Huygens habla expl´ıcitamente de
ecuaciones diferenciales y en el mismo a˜o,n
Leibniz dice que las ecuaciones diferenciales
son funciones de elementos del tri´ngulo ca-a
racter´ıstico.
1
a
b
-
Figura 2: Una catenaria.
En 1691, Leibniz, Huygens y Jean Bernouil-
li publicaron soluciones independientes. La de
Jean Bernouilli es la que se encuentra habi-
tualmente en los textos de mec´nica:a
Consideremos un cable homog´neo sujetoe
por sus dos extremos (que suponemos a la
misma altura) y que distan 2a uno del otro
y sea ρ la densidad del cable. Sea y = y(x) la
funci´n que describe la posici´n del cable. Poroo
conveniencia se asumir´ que la altura m´aınima
del cable ocurre en x = 0 (o en otras palabras,
y (0) = 0).
s
6
a
s
A partir de ahora, denotaremos c = gρ/ T0 .
Como (v´ase la figura 1)e
dy/dx = tan θ,
(ds)2 = (dx)2 + (dy)2 ,
T0 _
c_c _
_
__θ
y
3__ T
_
si derivamos (respecto a x) la ecuaci´n (1), seo
obtiene
-
x
d2 y
=c
dx2
(dx)2 + (dy)2
.
dx
O escrito de otro modo,
Figura 3: Deducci´n de la ecuaci´n de la cate-oo
naria.
d2 y
=c 1+
dx2
dy
dx
2
.
...