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Ecuaciones Diferenciales


Enviado por   •  24 de Agosto de 2012  •  5.384 Palabras (22 Páginas)  •  850 Visitas

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Estas notas pretenden mostrar una breve

historia de las ecuaciones diferenciales. Se ha

pretendido dar m´s ´nfasis a las ideas que aa e

las biograf´ de los matem´ticos creadores deıasa

la teor´ En la siguiente direcci´nıa.o

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk

se halla una colecci´n de biograf´ de losoıas

matem´ticos m´s famosos.aa

La mayor parte de estas notas hist´ricaso

est´ sacadas de [1].a

6

ds

dx

dy

-

Figura 1: El tri´ngulo caracter´aıstico.

En 1690, Jacques Bernouilli plante´ el pro-o

blema de encontrar la curva que adopta una

cuerda flexible, inextensible y colgada de dos

puntos fijos, que Leibniz llam´ catenaria (delo

lat´ cadena). Galileo pens´ que esta cur-ıno

va era una par´bola, mientras que Huygensa

prob´ que esto no era correcto.o

6

c

c

1. Ecuaciones diferenciales de 1er orden

Los primeros intentos para resolver proble-

mas f´ısicos mediante el c´lculo diferencial aa

finales del siglo XVII llevaron gradualmente

a crear una nueva rama de las matem´ticas,a

a saber, las ecuaciones diferenciales. A media-

dos del siglo XVIII las ecuaciones diferenciales

se convirtieron en una rama independiente y

su resoluci´n un fin en s´ mismo.oı

Ya Newton (los creadores del c´lculo in-a

finitesimal fueron Leibniz y Newton) ob-

serv´ que si dn y/dxn = 0, entonces y(x) eso

un polinomio de grado n − 1, en particular, y

depende de n constantes arbitrarias, aunque

esta afirmaci´n tuvo que esperar hasta el sigloo

XIX para poder ser demostrada con rigor (la

demostraci´n est´ndar actual usa el teoremaoa

del valor medio). Los matem´ticos de la ´pocaae

con frecuencia usaban argumentos f´ısicos: si

y(t) denota la posici´n en el tiempo t de unao

part´ıcula, entonces dy/dt es su velocidad. Si

dy/dt = 0, se tiene que la velocidad es nula, es

decir, la part´ıcula no se mueve y su posici´n,o

por tanto, permanece constante.

En 1693 Huygens habla expl´ıcitamente de

ecuaciones diferenciales y en el mismo a˜o,n

Leibniz dice que las ecuaciones diferenciales

son funciones de elementos del tri´ngulo ca-a

racter´ıstico.

1

a

b

-

Figura 2: Una catenaria.

En 1691, Leibniz, Huygens y Jean Bernouil-

li publicaron soluciones independientes. La de

Jean Bernouilli es la que se encuentra habi-

tualmente en los textos de mec´nica:a

Consideremos un cable homog´neo sujetoe

por sus dos extremos (que suponemos a la

misma altura) y que distan 2a uno del otro

y sea ρ la densidad del cable. Sea y = y(x) la

funci´n que describe la posici´n del cable. Poroo

conveniencia se asumir´ que la altura m´aınima

del cable ocurre en x = 0 (o en otras palabras,

y (0) = 0).

s

6

a

s

A partir de ahora, denotaremos c = gρ/ T0 .

Como (v´ase la figura 1)e

dy/dx = tan θ,

(ds)2 = (dx)2 + (dy)2 ,

T0 _

c_c _

_

__θ

y

3__ T

_

si derivamos (respecto a x) la ecuaci´n (1), seo

obtiene

-

x

d2 y

=c

dx2

(dx)2 + (dy)2

.

dx

O escrito de otro modo,

Figura 3: Deducci´n de la ecuaci´n de la cate-oo

naria.

d2 y

=c 1+

dx2

dy

dx

2

.

...

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