3 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

3 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Una variable aleatoria es continua si puede asumir cualquier valor en uno o más intervalos de números reales y la probabilidad de que suma un valor específico dado es cero.

Definición: Una función de densidad continua (para la v.a continua) es una función no negativa con las propiedades:

i)

ii)

Definición: La función de distribución o función de probabilidad acumulada para una v.a. X continua, con función de densidad está dada por

Observación:

i) .

ii) en otro caso.

Ejemplos:

1._ Una v.a. continua X que puede asumir valores entre 1 y 3 tienen una función de densidad dada por =1/2.

a) Demuestra que es una función de densidad de probabilidad.

b) Encuentra .

c) Cuanto vale .

d) Encuentra y úsalo para encontrar

2._ Sea Y una v.a continua con función de densidad

Encuentra el valor de c, la función de probabilidad acumulada y grafica ambas funciones.

Valor esperado y varianza de una variable aleatoria continua

Ejemplos:

1._ La concentración de plomo en la gasolina varia actualmente entre 0.1 y 0.5 gramos por litro inclusive. Considera la función donde X es el número de gramos de plomo por litro de gasolina.

a) Prueba que es una función de densidad de probabilidad.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que su concentración en un litro de gasolina seleccionado al azar se ubique entre 0.2 g/l y 0.3 g/l.?

c) Calcular la función de distribución acumulada para X.

d) Utiliza la función acumulada para calcular la probabilidad de que la concentración de plomo en un litro de gasolina seleccionado aleatoriamente sea de 0.25 g/l a 0.35 g/l.

e) Calcular la media y la varianza.

2._ Para la siguiente función

a) Demuestra que es una función de densidad de probabilidad.

b) Encuentra la media y la varianza.

c) Encuentra la

3._ Si la función de probabilidad de una v.a. continua X es

a) Determina el valor de c.

b) Encuentra P(1<X<2).

4._ Sea la f.d.p.

a) Calcula P(3.5<x<4.0)

b) Calcula P(x<4.1)

c) Grafica la función.

Distribución Uniforme

Se dice que la v.a continua X, tiene una distribución uniforme si su función de probabilidad está dada por la expresión:

La notación para esta distribución es X~U(a,b) y se lee “la v.a X se distribuye uniformemente en el intervalo (a,b).

La función de probabilidad acumulada para esta distribución uniforme está dada por:

si a<x<b.

Valor esperado, varianza y f.g.m.

Ejemplos:

1._ Si X se distribuye uniformemente y es simétrica respecto al origen y tiene varianza 1. ¿Cuánto vale a y cuanto b?

2._ Si X~U(0,4). ¿Cuál es la probabilidad de que las raíces de y2+4xy+x+1=0 sean reales?

Distribución Exponencial.

La v.a X tiene una distribución exponencial con parámetro >0, y se escribe X~exp(x; ) si su f.d.p es de la forma:

La función de distribución de la v.a, o la función de probabilidad acumulada de la v.a es;

La f.g.m., la media y lavarianza de esta distribución están dadas por:

Esta distribución también tiene la propiedad de falta de memoria pues para t>0 y h>0

Teorema: Supóngase que las variables aleatorias constituyen una muestra aleatoria (esto quiere decir que son independientes y con la misma función de densidad de probabilidad) de una distribución exponencial con parámetro . Entonces la distribución de es una distribución exponencial con parámetro .

Ejemplos:

1._ El motor y el tren de transmisión de un automóvil nuevo están garantizados por un año. Las vidas medias de estos componentes se estiman en tres años, y el tiempo transcurrido hasta la falla tiene una distribución exponencial. La ganancia en un auto nuevo es de $1,000.00. Incluyendo los costos de refacciones y de mano de obra, la agencia debe pagar $250.00 para reparar la falla. ¿Cuál es la utilidad esperada por automóvil?

2._ ¿Hay una densidad exponencial que cumple la siguiente condición? . Si es así encuentra el valor del parámetro de la distribución.

3._

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