Matematicas

Límite y Continuidad de Funciones

Eleazar José García eleagarcia95@hotmail.com

Resumen.

Estudio del límite de funciones en un punto; comenzaremos dicho estudio analizando la gráfica de una función. Trataremos los teoremas referentes a los límites de funciones y los límites indeterminados Estudio de la continuidad de funciones.

Límite de una función.

La noción de límite de una función en un número (un punto de la recta real) se presentará mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la gráfica de la función

Para todo punto x ≠ 1 podemos trazar la gráfica por los métodos conocidos por todos nosotros. Ahora, para tener idea del comportamiento de la gráfica de f cerca de x=1, usamos dos conjuntos de valores x, uno que se aproxime al 1 por la izquierda y otro por la derecha. La siguiente tabla muestra los correspondientes valores de f (x).

x se acerca al 1 por la izquierda x se acerca al 1 por la derecha

x 0,9 0,99 0,999 1 1,001 1,01 1,1

f ( x ) 2,71 2,9701 2,997001 ¿? 3,003001 3,0301 3,31

f (x) se acerca al 3 f (x) se acerca al 3

La figura 1 es la gráfica de la función y como podemos observar, en dicha gráfica hay un salto en el punto (1; 3), esto se debe a que la función f no está definida en el número 1. Es de notar que ésta gráfica es la de la función menos el punto (1; 3). La función g se obtiene a partir de la función f, factorizando el numerador y simplificando. La discusión anterior conduce a la siguiente descripción informal: Si f(x) se aproxima arbitrariamente a un número L cuando x se aproxima a a por ambos lados, decimos que el límite f(x) cuando x tiende a a es L, y escribimos

Definición de límite de una función.

Sea f una función definida en todo número de algún intervalo abierto I que contiene a a excepto posiblemente en el número a mismo. El límite de f(x) cuando x se aproxima a a es L, lo cual se escribe como , si para cualquier , no importa que tan pequeña sea, existe una tal que

si entonces

Esta definición indica que los valores de f(x) se aproximan al límite L conforme x se aproxima al número a, si el valor absoluto de la diferencia puede hacerse tan pequeña como de desee tomando x suficientemente cerca de a pero no igual a a.

En la definición no se menciona nada acerca del valor de f(x) cuando x = a; recordemos que la función no necesita estar definida en a para que exista.

Ejemplos 1.

1) Utilicemos la definición para demostrar que

Como la función está definida en todo intervalo abierto que contiene a 2, entonces podemos utilizar la definición para hacer la demostración.

Se debe demostrar que para cualquier existe una tal que

si entonces (A)

si entonces

si entonces

si entonces

Entonces, si tomamos se cumple la proposición (A). Esto demuestra que

Tomando , luego, para esos valores de y los números x que pertenecen al intervalo abierto verifican la proposición(A). En efecto, tomando cualquier x en el intervalo anterior, por ejemplo x = 1,9976 se tiene:

entonces

Esto verifica la proposición (A) para el valor específico tomado para x.

2) Demostrar usando la definición de límite que

Como la función está definida en cualquier intervalo abierto que contenga al 1, excepto en el número 1, podemos aplicar la definición para realizar la demostración. En efecto,

si entonces (B)

si entonces

si entonces

si entonces

si entonces

Ahora, cuando x se acerca a 1, x +2 se acerca a 3, luego, entonces, por lo tanto, De la proposición (B) se obtiene que, si entonces Si tomamos se cumple la proposición (B), lo que demuestra que

Ejercicios propuestos 1.

Demuestre, aplicando la definición que el límite es el número indicado.

1)

2)

3)

4)

Con la finalidad de calcular los límites de funciones de una manera más fácil y eficaz, que aplicando la definición, son empleados los teoremas 2.1 al 2.10.

Teorema 1. Límite de una función lineal.

Sea donde m y b son dos números reales cualesquiera y, entonces

Ejemplo 2.

Teorema 2. Límite de una función constante.

Si c es una constante (un número real cualquiera), entonces

Ejemplo 3.

Teorema 3. Límite de una función identidad.

Sea , entonces

Ejemplo 4.

Teorema 4. Límite de la suma y de la diferencia de funciones.

Si y , entonces

Ejemplo 5.

Sean, y entonces, y

Teorema 5. Límite de la suma y de diferencia de n funciones.

Si entonces:

Teorema 6. Límite del producto de dos funciones.

Si y , entonces

Ejemplo 6.

Sean, y entonces,

Teorema 7. Límite del producto de n funciones.

Si entonces

Teorema 8. Límite de la n-ésima potencia de una función.

Si y n es cualquier número entero positivo, entonces

Ejemplo 7.

Sea, entonces,

Teorema 9. Límite del cociente de dos funciones.

Si y , entonces

Ejemplo 8.

Sean, y entonces,

Teorema 10. Límite de la raíz n-ésima de una función.

Si n es un número entero positivo y , entonces

con la restricción que si n es par, L > 0.

Ejemplo 9.

Sea, entonces

Teorema 12. Límite del logaritmo de una función.

Sean: b un número real positivo y distinto de 1, y entonces

Ejemplo 10.

Calcule: aplicando el teorema 2.12.

Apliquemos el teorema exigido:

Sin aplicar el teorema:

Teorema 11. Unicidad del límite de una función.

Si y entonces,

Este teorema asegura que si el límite de una función existe éste es único.

Infinitésimo.

La función f es un infinitésimo en el punto a si y sólo si

Ejemplos 10.

1) La función f (x) = x es un infinitésimo en 0 pues

2) La función g (x) = x – 1 es un infinitésimo en 1 porque

3) La función h (x) = sen x es un infinitésimo en 0 ya que

4) La función m(x) = 4-2x es un infinitésimo en 2 pues

5) La función r(x) = cos x es un infinitésimo en porque

Infinitésimos equivalentes.

Dos infinitésimos en un mismo punto son equivalentes, cuando el límite de su cociente es la unidad.

Cuando en un límite, un infinitésimo esté multiplicado o dividido se le puede sustituir por otro infinitésimo equivalente. La suma de varios infinitésimos de distinto orden se puede reducir al infinitésimo de menor orden.

Infinitésimos más frecuentes en 0.

Ejemplos 11.

1)

2)

3)

4)

Ejercicios propuestos 2.

Calcule los siguientes límites:

1) 2) 3) 4) 5)

6) 8) 9) 10) 11) 12) 13)

Límite por la izquierda.

Sea f definida en cada número del intervalo abierto El límite de f (x), cuando x se acerca al número a por la izquierda es L, lo cual se escribe si para cualquier sin importar que tan pequeña sea, existe una tal que

si entonces

Límite por la derecha.

Sea f una función definida en cada número del intervalo abierto El límite de f(x), cuando x se acerca al número a por la izquierda es L, lo cual se escribe si para cualquier sin importar que tan pequeña sea, existe una tal que

si entonces

Teorema 12.

El existe y es igual a L, si y sólo si, y existen y son iguales a L.

Funciones que crecen sin límite.

Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene al número a, excepto posiblemente en a mismo. La función f (x) crece sin límite, cuando x se aproxima al número a, lo cual se escribe si para cualquier N > 0 existe una tal que:

si entonces f (x) > N

Ejemplo 13.

Supongamos que f es la funci¬¬ón definida por La gráfica de esta función se muestra en la figura siguiente.

El comportamiento de la función f es que crece sin límite cuando x se acerca al número cero por la izquierda o por la derecha. Cuando esto sucede decimos que el límite de f(x) es menos infinito cuando x tiende al número 0, lo que se indica mediante la siguiente notación:

Funciones que decrecen sin límite.

Sea f una función definida en algún intervalo abierto que contiene al número a, excepto posiblemente en a mismo. La función f (x) decrece sin límite, cuando x se aproxima al número a, lo cual se escribe si para cualquier N < 0 existe una tal que

si entonces f (x) < N

Ejemplo 14.

Supongamos que f es la función definida por la ecuación La gráfica de f se muestra en la figura siguiente.

A partir de la gráfica se observa que el comportamiento de la función f es que decrece sin límite cuando x se acerca a “0” por la izquierda o por la derecha. Este comportamiento lo expresamos diciendo que el límite de f (x) es menos infinito cuando x tiende a cero, lo que se escribe de la siguiente manera:

Ahora consideremos la función h definida por la ecuación La gráfica de h se presenta en la figura 4.

El comportamiento de h cuando x se acerca al número 1 por la izquierda es diferente a su comportamiento cuando x se acerca al 1 por la derecha. Cuando se acerca al 1 por la izquierda h(x) decrece sin límite, mientras que cuando x se acerca al 1 por la derecha h(x) crece sin límite.

Estos comportamientos de h lo escribimos de las siguientes maneras: y

Ejemplos 15.

Determine el límite analíticamente y apoye la respuesta trazando la gráfica de la función.

1)

Solución:

La gráfica de la función es mostrada a continuación.

En la gráfica se observa que cuando x se acerca al número 2 por la derecha g(x) crece sin límite.

2)

Solución

La gráfica de la función es mostrada en la figura 6.

Observemos que f (x) decrece sin límite cuando x se acerca al 0 por la izquierda.

3)

Solución:

La gráfica de la función se muestra en la figura 7:

Observando la gráfica podemos verificar que cuando x se acerca al número -2 por la derecha, f (x) decrece sin límite.

Límites indeterminados.

Los límites indeterminados que estudiaremos en éste capítulo son:

La forma indeterminada

Si f y g son dos funciones tales que y entonces la función tiene la forma indeterminada en a.

La manera de resolver los límites indeterminados será explicada mediante dos:

Ejemplos 16.

1) Calcular

Se tiene que y entonces,

Para eliminar la indeterminación, factorizamos el numerador y el denominador, simplificamos y resolvemos el límite obtenido, así:

Por lo tanto,

2) Calcular

Aquí tenemos:

y luego,

En éste caso procedemos de la siguiente manera: multiplicamos el numerador y el denominador por la conjugada de dicha conjugada es: luego se resuelve el límite resultante, así:

Por lo tanto,

La forma indeterminada

Si f y g son dos funciones tales que y entonces la función es indeterminada con la forma

La forma de resolver éstos límites será explicada mediante dos ejemplos.

Ejemplos 17

1) Calcular

Es evidente que y por lo tanto, Para resolver éste límite dividimos el numerador y el denominador entre la x de mayor exponente, así:

Por lo tanto,

2) Calcular

En este caso y , por lo tanto,

Para resolver, dividamos el numerador y el denominador entre pues éste es la potencia de x de mayor exponente, así:

Por lo tanto,

La forma indeterminada

Si f y g son dos funciones tales que y entonces la función es indeterminada de la forma La manera de resolver éstos límites será explicado con ejemplos.

Ejemplos 18

1) Calcular

Como y entonces, Para resolver éste límite racionalizamos, así:

Hemos transformado el límite en otro indeterminado de la forma que se resuelve dividiendo el numerador y el denominador entre x, así:

Por lo tanto,

2) Calcular

Como:

y entonces,

Para resolver éste límite racionalizamos, así:

El límite se transformó en otro indeterminado de la forma que se resuelve dividiendo el numerador y el denominador entre la potencia de x de mayor exponente, que en el caso que nos ocupa es así:

Por lo tanto,

Teorema 23. Teorema de estricción o del encaje.

Si para todo x en un intervalo abierto que contiene a a, excepto en el propio a y si entonces

Ejemplo 2.19.

Sean f, g y h las funciones definidas por y

Las gráficas de estas funciones están trazadas en la figura 8.

Las gráficas de h, f y g son parábolas que tienen sus vértices en el punto (3; 2). Las tres funciones están definidas en x = 3. También se observa que Además, y Por lo tanto, de acuerdo al teorema de estricción

Ejercicios propuestos 3

Calcule los siguientes límites.

1) 2) 3) 4)

5)

6) recuerde que:

7) recuerde que:

8) 9) 10)

11) 12) 13)

Dadas las funciones indicadas, calcule el límite señalado si existe, sino existe establezca la razón.

14)

15)

Utilice el teorema de estricción para determinar el límite.

16) si para toda x

17) dado que para toda x en el intervalo

18) dado que para toda x en el intervalo

Continuidad de una función.

Función continua en un número.

Una función f es continua en un número a si y sólo si se satisfacen las tres condiciones siguiente:

i) f (a) existe;

ii) existe;

iii)

Si por lo menos una de estas tres condiciones no se cumple en a, entonces se dice que la función f es discontinua en a.

Ejemplos 20.

1) La función definida por es discontinua en 2, pues dicha función no está definida en el 2. Veamos como es su comportamiento gráficamente, mostrado en la figura 9.

La gráfica muestra un salto en el punto (2; 4), esto se debe a la discontinuidad de la función en x= 2, por lo tanto, f(2) no existe. Observando la gráfica se sospecha que existe y es igual a 4.

Veamos si esto es cierto:

Cuando una función f presenta las características anteriores, es decir, no está definida en un número a pero existe, se dice que f presenta una discontinuidad removible o eliminable, porque si f es redefinida en a de manera que la nueva función es continua en a. Si una discontinuidad no es removible se dice que es una discontinuidad esencial.

La discontinuidad de la función es removible, porque si se redefine en 2, se obtiene la siguiente función:

La función F es continua en 2, puesto que,

y

2) Sea g la función definida por La gráfica de la función es mostrada en la figura 10.

La gráfica de g se rompe en el punto donde pues la función no está definida en dicho punto. Además, y luego, no existe. Por lo tanto,

i) no está definida.

ii) no existe.

Entonces, la función g es discontinua en y la discontinuidad es esencial porque no existe. La discontinuidad de éste ejemplo recibe el nombre de discontinuidad infinita.

3) Sea h la función definida por

La gráfica de h es mostrada en la siguiente figura:

Veamos que sucede con las condiciones de continuidad de la función h en x = 2.

i) g(2) = 3

ii) y , por lo tanto, no existe.

Como la condición ii) no se cumple, h es discontinua en 2. La discontinuidad es infinita, y desde luego esencial.

Bibliografía

[1] Rabuffetti Hebe T. Introducción al Análisis Matemático, décima edición.

[2] Apostol Tom M. Calculus, segunda edición.

Autor

Eleazar José García

eleagarcia95@hotmail.com

Profesión: Licenciado en Matemática

Profesor de Matemática de 4º y 5º Año dependiente del Ministerio del Poder Popular para la Educación

Profesor (contratado) de Cálculo 1 y 2 de la UNELLEZ-Núcleo San Carlos

País: Venezuela

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