Ecuaciones Diferenciales, Practica Computadora Analogica

ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales permiten modelar muchos fenómenos de la naturaleza (la física está llena de ecuaciones diferenciales) y de la sociedad (como la evolución de poblaciones). Antes de la aparición de los ordenadores resolver algunas ecuaciones diferenciales podía ser muy difícil, pero en la actualidad resulta muy sencillo obtener soluciones aproximadas que son en general suficientemente buenas para todas las aplicaciones e incluso va cayendo en desuso la búsqueda de soluciones exactas.

Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

•

es una ecuación diferencial ordinaria, donde representa una función no especificada de la variable independiente , es decir, , es la derivada de con respecto a .

• La expresión

es una ecuación en derivadas parciales.

A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).

Usos

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en todas las ramas de la ingeniería para el modelado de fenómenos físicos. Su uso es común tanto en ciencias aplicadas, como en ciencias fundamentales (física, química, biología) o matemáticas, como en economía.

• En dinámica estructural, la ecuación diferencial que define el movimiento de una estructura es:

Donde M es la matriz que describe la masa de la estructura, C es la matriz que describe el amortiguamiento de la estructura, K es la matriz de rigidez que describe la rigidez de la estructura, x es vector de desplazamientos [nodales] de la estructura, P es el vector de fuerzas (nodales equivalentes), y t indica tiempo. Esta es una ecuación de segundo orden debido a que se tiene el desplazamiento x y su primera y segunda derivada con respecto al tiempo.

• La vibración de una cuerda está descrita por la siguiente ecuación diferencial en derivadas parciales de segundo orden:

•

donde es el tiempo y es la coordenada del punto sobre la cuerda. A esta ecuación se le llama ecuación de onda.

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