Introduccion A La Respuesta En Frecuencia

Introducción a La Respuesta A La Frecuencia

Fidel Tovilla Hernández

Control II

Ing. Eléctrica

Introducción A La Respuesta A La Frecuencia

La respuesta de frecuencia es una característica de un sistema que tiene una respuesta medida que es el resultado de una entrada conocida aplicada. En el caso de una estructura mecánica, la respuesta de frecuencia es el espectro de la vibración de la estructura, dividido entre el espectro de la fuerza de entrada al sistema. Para medir la respuesta de frecuencia de un sistema mecánico, hay que medir los espectros de la fuerza de entrada al sistema y de la respuesta de vibración .Esto se hace más fácilmente con un analizadorTRF.Las mediciones de respuesta de frecuencia se usan mucho en el análisis modal de sistemas mecánicos.

La función de respuesta de frecuencia es una cantidad tridimensional que consiste en amplitud vs fase vs frecuencia. Por eso una gráfica verdadera de ella necesita tres dimensiones, lo que es difícil de representar en papel. Una manera de realizar esto es la llamada gráfica de Bode, que consiste en dos curvas, una de amplitud vs frecuencia, y una de fase vs frecuencia. Otra manera de ver la función es de resolver la porción de fase en dos componentes ortogonales, una parte en fase (llamada la parte real) y una parte 90 grados fuera de fase (llamada la parte imaginaria o parte de la cuadranura).A veces se hace una gráfica de esas dos partes una contra la otra, y el resultada es la gráfica Niquis.

El método de la respuesta en frecuencia puede ser menos intuitivo que otros métodos que ha estudiado anteriormente. Sin embargo, tiene ciertas ventajas, especialmente en situaciones reales como modelado de funciones de transferencia a partir de datos físicos.

La respuesta en frecuencia de un sistema puede verse de dos maneras distintas: vía el diagrama de Bode, o vía el Diagrama de Niquis. Ambos métodos presentan la misma información; la diferencia radica en la manera en que se presenta la información. En este tutorial estudiaremos ambos métodos.

La respuesta en frecuencia es una representación de la respuesta del sistema a entradas sinusoidales a frecuencia variable. La salida de un sistema lineal a una entrada sinusoidal es una sinusoide de la misma frecuencia pero con distinta magnitud y fase. La respuesta en frecuencia se define como las diferencias de magnitud y fase entre las sinusoides de entrada y salida. En esta Guía, veremos cómo podemos usar la respuesta en frecuencia de un sistema a lazo abierto para predecir su comportamiento a lazo cerrado.

Para graficar la respuesta en frecuencia, creamos un vector de frecuencias (entre cero o "DC" e infinito) y calculamos el valor de la función de transferencia de la planta a estas frecuencias.

Si G(s) es la función de transferencia de un sistema a lazo abierto y w es el vector frecuencia, grafiquemos entonces G (j*w) vs. w. Como G (j*w) es un número complejo, podemos graficar su magnitud y fase (diagrama de Bode) o su posición en el plano complejo (diagrama de Niquis). Se dispone de mayor información en ploteo de la respuesta en frecuencia.

Cualquier sistema lineal generará, siempre, una función de transferencia consistente de la razón de dos polinomios (Q(s) en el numerador y P(s) en el denominador) donde el denominador (P(s)) es de más alto orden que el numerador (Q(s)):

Si esta función de transferencia es sometida a una entrada f (t) sinusoidal, se puede demostrar (el lector está capacitado para realizar la demostración) que:

-La respuesta a tiempo infinito es una sinusoide, a la misma frecuencia

-La Razón de Amplitudes es función de la frecuencia y queda determinada por el módulo de la función de transferencia evaluada en s=jw

-La salida sinusoidal se retrasa en un ángulo cuyo valor queda determinado por el argumento de la función de transferencia evaluada en s=jw

Debiera, entonces, ser bastante simple encontrar la R.A. y la fase de cualquier función de transferencia (físicamente válida).

Diagramas de Bode

Como se vio anteriormente, el diagrama de Bode es la representación de la magnitud y fase de G (j*w) (donde el vector frecuencia w contiene únicamente frecuencias positivas). Para ver el diagrama de Bode de una función de transferencia, puede usar el comando bode. Por ejemplo,

Bode (50, [1 9 30 40])

Muestra los diagramas de Bode por la función de transferencia:

50

-----------------------

S^3 + 9 s^2 + 30 s + 40

Fíjese en los ejes de la figura. La frecuencia está en escala logarítmica, la fase se da en grados, y la magnitud se da como la ganancia en decibeles.

Ganancia y margen de Fase

Digamos que tenemos el siguiente sistema:

Donde K es una ganancia variable (constante) y G(s) es la planta en consideración. El margen de ganancia se define como el cambio en la ganancia a lazo abierto necesario para inestabilizar el sistema. Los sistemas con márgenes de ganancia grandes pueden tolerar mayores cambios en los parámetros del sistema antes de hacerse inestable a lazo cerrado.

Tenga en cuenta que una ganancia unitaria en magnitud es igual a ganancia de cero en dB.

El margen de fase se define como el cambio a lazo abierto en la fase necesario para inestabilizar el sistema a lazo cerrado.

El margen de fase mide también en la tolerancia del sistema a retardos. Si hay un retardo mayor que 180/Wpc en el lazo (donde Wpc es la frecuencia donde el cambio de fase es 180 grados), el sistema se inestabilizará a lazo cerrado. El retardo puede pensarse como un bloque extra en el camino directo del diagrama en bloque que adiciona fase al sistema pero no tiene efecto en la ganancia. Esto es, un retardo puede representarse como un bloque con magnitud de 1 y fase w*tiempo retardo (en radianes/segundo).

Por ahora, no nos preocupemos por saber de dónde viene todo esto y concentrémonos

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