Ondas Estacionarias

ONDAS ESTACIONARIAS

FUNDAMENTO

Una onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos movimientos ondulatorios armónicos de igual amplitud y frecuencia que se propagan en sentidos opuestos a través de un medio. Pero la onda estacionaria NO ES una onda viajera, puesto que su ecuación no contiene ningún término de la forma kx-ωt. Por sencillez, tomaremos como ejemplo para ilustrar la formación de ondas estacionarias el caso de una onda transversal que se propaga en una cuerda sujeta por sus extremos en el sentido de izquierda a derecha (→); esta onda incide sobre el extremo derecho y se produce una onda reflejada que se propaga en el sentido de derecha a izquierda (←). La onda reflejada tiene una diferencia de fase de π radianes respecto a la incidente. La superposición de las dos ondas, incidente y reflejada, da lugar, en ciertas condiciones, a ondas estacionarias.

Ecuación de la onda incidente, sentido (→): y1  Acos(kx −ωt) [1a]

1 y2  A cos(kx ωt π)

Ecuación de la onda reflejada , sentido (←): [1b]

En las ecuaciones [1a] y [1b], k representa el número de ondas k  2π λ y ω es la

frecuencia angular ω  2π T , siendo λ y T la longitud de onda y el periodo,

respectivamente.

El resultado de la propagación simultánea de ambas ondas, incidente y reflejada, es el siguiente:

y  y1  y2  Acos(kx −ωt)  Acos(kx ωt π)  2 Asenkxsenωt [2]

El término senωt representa la dependencia temporal, mientras que 2Asenkx es la amplitud, la cual obviamente depende de la posición x. Es decir, los distintos puntos de la cuerda vibran con la misma frecuencia angular ω pero con diferentes amplitudes2.

Significado físico de la superposición expresada por la ecuación [2].

Como los puntos extremos de la cuerda están fijos por hipótesis, la vibración en ellos tiene que ser nula; es decir, si la cuerda donde se propagan las ondas tiene longitud L, en los extremos x = 0 y x = L han de verificarse en cualquier instante las condiciones siguientes:

y x0  2Asen 0  0 y xL  2Asen kL  0 [3]

De la condición expresada por la ecuación [3] se deduce que:

kL  nπ (n = entero) → 2λπ L  nπ → L  n λ2 [4]

La ecuación [4] quiere decir que aparecen ondas estacionarias sólo en aquellos casos que cumplan la condición de que la longitud de la cuerda sea un múltiplo entero de la semilongitud de onda.

En una onda estacionaria se distinguen los puntos nodales (o simplemente nodos), que son aquellos puntos en que la amplitud es nula, es decir, posiciones donde no hay vibración; los vientres o antinodos de la onda estacionaria, por el contrario, son los puntos en donde la vibración se produce con la máxima amplitud posible.

La distancia entre dos nodos consecutivos es igual a media longitud de onda. En efecto, un nodo cualquiera, situado en la posición xm, cumple la condición

sen kxm  0 → kxm  mπ → xm  m λ2

donde m toma todos los valores sucesivos m = 1, 2,..., n-1.

La frecuencia más baja para la que se observan ondas estacionarias en una cuerda de longitud L es la que corresponde a n = 1 en la ecuación [4]. Ésta se denomina frecuencia

fundamental, y cuando la cuerda vibra de este modo no se presentan nodos intermedios entre sus dos extremos. La siguiente posibilidad en la ecuación [4], el caso n = 2, se llama segundo armónico, y presenta un nodo intermedio. En la figura 1 aparece una representación de diversos armónicos.

Figura 1. Armónicos en una cuerda vibrante. Se representan desde el fundamental (a) hasta el 5º armónico (d). N indica los nodos, A los antinodos.

Velocidad de propagación de las ondas en una cuerda

En una cuerda de densidad lineal  (masa por unidad de longitud) sometida a la tensión T , la velocidad de propagación de una onda viene dada por

v  T [5]

Considerando además la relación entre la velocidad de propagación, la frecuencia y la longitud de onda, v  fλ , puede demostrarse que las frecuencias para las que se observarán ondas estacionarias en una cuerda están dadas por:

n T

fn  2L [6]



Modos de vibración de una cuerda sujeta por ambos extremos

Una cuerda horizontal está sujeta por uno de sus extremos, del otro extremo cuelga un platillo en el que se ponen pesas. Una aguja está sujeta al centro de la membrana de un altavoz y por el otro extremo está sujeta a la cuerda. La aguja empieza a vibrar cuando se conecta el altavoz al generador de ondas .

Tenemos un sistema oscilante, la cuerda, y la fuerza oscilante proporcionada por la aguja. Cuando la frecuencia de la fuerza oscilante, la que marca el generador coincide con alguno de los modos de vibración de la cuerda, la amplitud de su vibración se incrementa notablemente, estamos en una situación de resonancia

Nuestra experiencia simulada, difiere de la experiencia en el laboratorio, en que no cambiamos directamente la tensión de la cuerda sino la velocidad de propagación de las ondas. La relación entre una y otra magnitud se explica en la página que estudia las ondas transversales en una cuerda

Donde T es la tensión de la cuerda y m la

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