Rasgos De Una Funcion Teorica

Concepto de función

Dados dos conjuntos A y B, llamamos función a la correspondencia de A en B en la cual todos los elementos de A tienen a lo sumo una imagen en B, es decir una imagen o ninguna.

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

f : D

x f(x) = y

El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.

El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.

Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. La imagen de x se designa por f(x). Luego

y= f(x)

Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

Conjunto inicial Conjunto final

Representaciones de una función.

Gráfica: A cada par de valores (x,f(x)) le corresponde un punto en un sistema de eje cartesianos. Todos esos pares de valores forma la gráfica de la función.

Tabular: A cada valor de x se le asocia el valor de f(x) correspondiente.

Algebraica: Una fórmula permite calcular para cada valor de x el valor de f(x) que le corresponde por la función f.

Dominio y recorrido de una función

El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen. D = {x / f (x)}.El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes. R = {f (x) / x D}

¿CÓMO CALCULAR EL DOMINIO A PARTIR DE LA GRÁFICA?

Se estudia el eje X y se determina en él los valores que tienen asociado un pun to de la gráfica.

¿CÓMO CALCULAR EL RECORRIDO A PARTIR DE LA GRÁFICA.

Se estudia el eje Y y se determina los valores que en él están asociados al menos con un valor de x.

A TENER EN CUENTA.

-En las funciones polinómicas ,racionales y f(x)= tan(x) el Recorrido suele ser .

-En las funciones raiz el recorrido son los números positivos.

En las funciones y=sen(x) e y=cos(x) el recorrido son los valores del intervalo (-1,1)

¿CÓMO CALCULAR EL DOMINIO A PARTIR DE LA FÓRMULA?

DOMINIO: Valores de x para los que está definida la función.Para valores externos al dominio no existe gráfica.

-En las funciones Polinómicas , exponenciales* y Trigonométricas* (con excepción de f(x)=tan(x) el dominio es Â.

-En las funciones dadas por un cociente de polinomios el dominio son todos los valores de  con excepción de los que hacen que el denominadores valga 0.

-En las funciones en las que aparece alguna raíz cuadrada (o de índice par) deben suprimirse del dominio los valores de x que hacen negativa las expresiones contenidas dentro de esa raíz.

-En las funciones definidas a trozos debe estudiarse el dominio para cada una de las funciones de la definición dentro de su ámbito de validez. Además debe prestarse especial atención a los cambios de definición.

Puntos de corte con el eje OX (abcisas) y el eje OY (ordenadas)

Para hallar los puntos de corte con el eje de abscisas hacemos y = 0 y resolvemos la ecuación resultante. Estos puntos también se llaman ceros.Para hallar el punto de corte con el eje de ordenadas hacemos x = 0 y calculamos el valor de f(0).

Ejemplo 1:Hallar los puntos de corte con el eje OX de la función:

Ejemplo2:Hallar el punto de corte con el ejes OY de la función:

Ejemplo3: Hallar los puntos de corte con los ejes de la función anterior

Signo de la función:

SIGNO DE LA FUNCIÓN f(x).Cuando la función toma valores positivos ,su gráfica está por encima del eje X.En caso contrario se encuentra por debajo.

A)Se representan en una recta numérica todos los valores x pertenecientes al dominio de la función f(x).

B)Posteriormente se marcan sobre esa recta los puntos de corte de f(x) con el eje X, las fronteras de dominio y los cambios de definición en el caso de funciones definidas a trozos.

C)Los valores obtenidos delimitan unas zonas. En cada una de ellas el signo de la función no varía.

C) Para cada una de las zonas delimitadas se selecciona un valor de prueba. El signo que tome la función en ese valor determina el signo de f(x) en la zona.

Crecimiento y decrecimiento.

f es estrictamente creciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

f es estrictamente decreciente en a si sólo si existe un entorno de a, tal que para toda x que pertenezca la entorno de a se cumple:

Crecimiento

Crecimiento constante

Crecimiento de más a menos

Crecimiento de menos a más

Decrecimiento

derecimiento constante

decrecimiento de más a menos

decrecimiento

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