Espacios vectoriales y аplicaciones lineales

Espacios vectoriales y

Aplicaciones lineales

Espacios vectoriales. Subespacios vectoriales

Espacios vectoriales

Definici´on

Sea V un conjunto dotado de una operaci´on interna “ + ” que llamaremos suma, y sea K un

cuerpo conmutativo que define sobre V una operaci´on externa “ • ”, que llamaremos producto

por escalares.

α • ~a ∈ V, α ∈ K y ~a ∈ V

Diremos que (V, +, •K) es un espacio vectorial sobre K, o tambi´en que V es un Kespacio

vectorial, respecto de las operaciones suma y producto por escalares si se verifican

las siguientes condiciones:

1. (V, +) es un grupo conmutativo.

2. El producto por escalares cumple las siguientes propiedades:

2.1 1 • ~a = ~a ∀ ~a ∈ V

2.2 α • (β • ~a) = (αβ) • ~a ∀ α, β ∈ K, ∀ ~a ∈ V

2.3 α • (~a + ~b) = (α • ~a) + (α •

~b) ∀ α ∈ K, ∀ ~a, ~b ∈ V

2.4 (α + β) • ~a = (α • ~a) + (β • ~a) ∀ α, β ∈ K, ∀ ~a ∈ V

Los elementos de V se denominan vectores y los de K escalares.

Propiedades

1. ∀~a ∈ V : 0 • ~a = ~0.

2. ∀α ∈ K : α • ~0 = ~0.

3. ∀~a ∈ V, ∀α ∈ K : −(α • ~a) = (−α) • ~a = α • (−~a).

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