Analisis Numerico Interpolacion, Derivacion E Integracion

Tema III Interpolación, Derivación e Integración Numéricas

o Diferencias finitas hacia adelante o de avance

Sea una función , continua y diferenciable en el intervalo cerrado x0,xn, la cual es expresada en forma tabular como sigue:

x

x0

x1

.

.

xn y0

y1

.

.

yn

Se definen como primeras diferencias hacia adelante o de avance de a:

donde  es el operador diferencia.

Las segundas diferencias hacia adelante son las diferencias de las primeras diferencias, las terceras diferencias hacia adelante son las diferencias de las segundas diferencias; de manera general las k-ésimas diferencias hacia adelante de una función se pueden obtener como:

• Tabla de diferencias

La función expresada en forma tabular y sus diferencias se pueden agrupar en una tabla de diferencias como sigue:

TABLA DE DIFERENCIAS HACIA ADELANTE DE y=f(x)

x y=f(x) yi yi yi yi yi

x0

x1

x2

x3

x4

.

.

.

xn

y0

y1

y2

y3

y4

.

.

.

yn

y0

y1

y2

y3

y4

.

.

yn-1

y0

y1

y2

y3

y4

.

yn-2

y0

y1

y2

y3

y4

.

yn-3

y0

y1

y2

y3



yn-4

y0

y1

y2

.

yn-5

El proceso de obtención de diferencias es finito y deja de aplicarse cuando una de estas diferencias se vuelve constante o aproximadamente constante, sin anularse; por ejemplo en un polinomio de grado enésimo, puede comprobarse que es posible obtener hasta las n-ésimas diferencias, si el incremento en la variable independiente es constante; por ejemplo: Sean la s funciones, , , ; tabulando algunos pares de puntos y obteniendo sus diferencias hacia adelante:

x

y x

y 2y x

y 2y y

0

1

2

3

4 0

1

2

3

4

1

1

1

1

0

1

2

3

4 0

1

4

9

16

1

3

5

7

2

2

2 0

1

2

3

4 0

1

8

...