Aplicaciones Del C´alculo Diferencial
Enviado por Pedroortega2 • 21 de Agosto de 2013 • 2.007 Palabras (9 Páginas) • 343 Visitas
Tema 3
Aplicaciones del C´alculo Diferencial
3.1 Derivaci´on de funciones definidas impl´ıcitamente.
Definici´on 3.1 Todo campo escalar f : IR2 ! IR define la superficie z = f(x; y) .
Decimos que esta superficie est´a expresada en forma expl´ıcita. Tambi´en define una super-
ficie el conjunto de nivel, f(x; y; z) = 0; de un campo escalar f : IR3 ! IR . Decimos
en este caso que la superficie est´a expresada en forma impl´ıcita.
Ejemplo I
x2 + y2 + z2 = 1 representa la ecuaci´on en forma impl´ıcita de la esfera con centro el
origen y de radio 1. Esta ecuaci´on impl´ıcita define dos campos escalares expl´ıcitamente
z = +p1 x2 y2 y z = p1 x2 y2. En general, no es posible expresar una ecuaci´on
impl´ıcita en forma expl´ıcita. Pero sin embargo podemos obtener alguna informaci´on
adicional.
Ejemplo II
Sea la ecuaci´on impl´ıcita y2 + xz + z2 ez 4 = 0 .
No es posible despejar z = f(x; y) , obtener las ecuaciones expl´ıcitas de la superficie
de nivel. Sin embargo, si podemos calcular sus derivadas parciales aplicando la regla de
la cadena. ´Estas se calculan derivando en la ecuaci´on impl´ıcita, y2 +xf(x; y)+f2(x; y) ef(x;y) 4 = 0; respecto de las variables x e y.
Derivando respecto de x, se tiene: f(x; y) + x
@f
@x
+ 2f(x; y)
@f
@x ef(x;y) @f
@x
= 0; y por
lo tanto:
@f
@x
(x + 2f(x; y) ef(x;y)) = f(x; y): De donde obtenemos
@f
@x
= z
x + 2z ez .
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An´alogamente
@f
@y
= 2y
x + 2z ez
Hacemos notar que sin necesidad de conocer expl´ıcitamente z = f(x; y) , hemos
podido calcular sus derivadas en puntos particulares de ella.
Antes de enunciar el teorema de la funci´on impl´ıcita vamos a ver algunos casos sencillos
donde ya sabemos aplicar dicho teorema:
Motivaci´on:
1. Supongamos que tenemos un sistema lineal de m ecuaciones con n + m inc´ognitas.
E1 a11x1 + + a1nxn + b11z1 + b12z2 + + b1mzm = 0
E2 a21x1 + + a2nxn + b21z1 + b22z2 + + b2mzm = 0
...
...
..
.
..
.
...
...
Em am1x1 + + amnxn + bm1z1 + bm2z2 + + bmmzm = 0:
El Teorema de Rouch´e-Fr¨obenius nos asegura que si el determinante
b11 b12 b1m
b21 b22 b2m
...
... . . . ...
bm1 bm2 bmm
6= 0;
entonces, en las ecuaciones E1; ;Em podemos despejar las variables z1; ; zm.
En otras palabras, podemos expresar las variables z1; ; zm en funci´on de las vari-
ables independientes x1; ; xn.
El Teorema de Rouch´e-Fr¨obenius resuelve el problema de despejar inc´ognitas en los
casos de ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales
2. Consideremos ahora el problema de despejar una inc´ognita en una ecuaci´on no lineal
f(x; y) = 0, los puntos que satisfacen esta ecuaci´on son aquellos que pertenecen a
una curva de nivel de la funci´on escalar f(x; y).
Nos planteamos encontrar los puntos (x0; y0) de dicha curva en los que es posible
despejar la variable y. Despejar la variable y significa encontrar un cierto entorno
E(x0) donde exista una funci´on y = g(x) tal que f(x; g(x)) = 0. Si suponemos
f(x; y) diferenciable, este problema se puede reducir al de despejar una inc´ognita
en una ecuaci´on lineal, ya que despejar una variable de la ecuaci´on f(x; y) = 0 en el
entorno de un punto (x0; y0) es aproximadamente igual a despejar la misma variable
en la ecuaci´on que define la recta tangente a la curva de nivel en el entorno del
mismo punto. Dicha ecuaci´on como ya sabemos es
@f(x0; y0)
@x
(x x0) +
@f(x0; y0)
@y
...