Aplicasion De La Derivada
Enviado por jnvgx • 3 de Diciembre de 2013 • 911 Palabras (4 Páginas) • 324 Visitas
APLICACIONES DE LA DERIVADA (continuación)
2. PUNTOS MÁXIMOS, MÍNIMOS Y DE INFLEXIÓN
La siguiente gráfica muestra qué es un punto mínimo, un máximo y uno de inflexión.
Entre un máximo y un mínimo siempre hay uno de inflexión.
No puede haber dos mínimos o dos máximos seguidos.
Para encontrar los puntos mínimos y máximos lo que debemos hacer es resolver la primera derivada de la función, igualada con cero:
Si es solución de le llamamos valor crítico en el cual puede haber un punto máximo o mínimo. Para saber si es máximo o mínimo usamos el criterio de la segunda derivada:
Si entonces en hay un máximo.
Si entonces en hay un mínimo.
Si entonces este criterio no da ninguna información y debemos usar el criterio de la primera derivada.
Cuando la segunda derivada sea muy laboriosa entonces el criterio de la primera derivada puede servir. Este criterio consiste en evaluar la primera derivada en un valor antes ( ) y después ( ) del valor crítico ( ) y si
, entonces en hay un mínimo.
, entonces en hay un máximo.
Para encontrar los puntos de inflexión lo que debemos hacer es resolver la segunda derivada de la función igualada a cero:
Si es solución de entonces en hay un punto de inflexión.
Ejemplo 1 Encuentra las coordenadas del punto máximo de .
Para encontrar el punto máximo debemos derivar la función :
ahora hay que resolver la ecuación (factorizando o usando fórmula general):
Factorizando...
Por fórmula general...
Vemos que son soluciones de ; para saber en cuál de los dos está el máximo evaluamos los resultados en :
entonces en hay un mínimo.
entonces en hay un máximo.
El valor buscado es y el punto donde se encuentra el máximo es
Es decir hay que sustituir en la función original: , entonces el punto máximo de la función está en .
Ejemplo 2 Encuentra las coordenadas del punto de inflexión de .
Para encontrar el punto de inflexión debemos resolver la segunda derivada igualada con cero.
Como , entonces y , y debemos resolver: cuya solución es , entonces el punto de inflexión está en , es decir hay que evaluar la función original en , , entonces el punto de inflexión está en .
Ejercicios para el aula
1. Las coordenadas del punto mínimo de la función son
a) b) c) d)
2. Las coordenadas del punto máximo de la función son
a) b) c) d)
3. Las coordenadas del punto de inflexión de la función son
a) b) c) d)
4. Las coordenadas del punto mínimo de la función son
a) b) c) d)
5. Las coordenadas
...