Areas

Para calcular el área bajo una curva usando integrales hay que integrar la función que describe la curva entre el intervalo que se quiere medir el área.

Si conocemos la ecuación de una curva y = f(x) que toma valores no negativos, ¿cómo calcularemos el área entre la curva, el eje X y dos abscisas, x = a y x = b?

Una idea útil consiste en dividir [a,b] en tramos y aproximar el área mediante rectángulos con base en el eje X y altura el mínimo valor que toma la función en cada tramo.

Si el intervalo [a,b] se ha partido en n trozos, no necesariamente iguales:

a = x0 < x1 < x2< ...< xn = b

y llamamos mi al menor valor que toma la función en el tramo [xi-1,xi], el área rayada es:

m1(x1-x0) + m2(x2-x1) + ... + mn(xn-xn-1) = Σi =1 n mi  xi−xi−1

Este área es menor (o, a lo sumo, igual) que el área buscada. Nos hemos aproximado por defecto al área buscada.

También podríamos habernos aproximado por exceso sin más que tomar como altura de cada rectángulo el mayor valor, Mi, que toma la función en el intervalo correspondiente.

¿Cómo aproximarnos más al valor del área que buscamos?

- Evidentemente, si tomamos unos rectángulos más finos, es decir, si los puntos xi los tomamos cada uno más cerca del siguiente, tanto el área por defecto como el área por exceso se aproximan más que antes al área del recinto.

– Y si, en vez de tomar el valor máximo o el mínimo de cada intervalo, tomamos un valor intermedio, la aproximación podría ser mejor todavía.

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