Axioma.

axioma

definicion

}La palabra axioma proviene del griego αξιωμα (axioma), que significa “lo que parece justo” o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostración. La palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa “valorar”, que a su vez procede de αξιος (axios) que significa “valuable” o “digno”. Entre los antiguos filósofos griegos, un axioma era aquello que parecía ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba.

Un axioma, en epistemología, es una “verdad evidente” que no requiere demostración, pues es admitida por todas las personas, y sobre la cual se construye el resto de conocimientos; aunque, no todos los epistemólogos están de acuerdo con esta definición “clásica”.

En matemática, un axioma no es necesariamente una verdad evidente, sino una expresión lógica utilizada en unadeducción para llegar a una conclusión. En matemática se distinguen dos tipos de axiomas: axiomas lógicos y axiomas no-lógicos.

Kurt Gödel demostró a mediados del siglo XX que los sistemas axiomáticos de cierta complejidad, por definidos yconsistentes que sean, poseen serias limitaciones. En todo sistema de una cierta complejidad, siempre habrá una proposición P que sea verdadera, pero no demostrable. De hecho, Gödel prueba que, en cualquier sistema formal que incluya la aritmética, puede formarse una proposición P que afirme que este enunciado no es demostrable. Si se pudiera demostrar P, el sistema sería contradictorio: no sería consistente. Luego P no es demostrable y, por tanto, ¡P es verdadero

Los cinco axiomas que postuló Euclides fueron éstos:

"I. Trazar una línea desde un punto cualquiera a otro punto cualquiera.

(Por dos puntos pasa una única línea recta)

"II. Prolongar de manera ilimitada en línea recta una recta ilimitada."

(Una recta cualquiera se puede prolongar indefinidamente)

"III. Describir un círculo para cada centro y cada radio."

(Por cada punto, y para cada longitud existe un círculo de centro el punto y

de radio la longitud)

"IV. Todos los ángulos rectos son iguales."

(Todo ángulo recto mide lo mismo, 90 grados)

"V. Si una recta, al incidir sobre otras dos, forma del mismo lado ángulos

internos menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas al infinito se

encontrarán en el lado en que estén los ángulos menores que dos rectos."

(Si una recta corta a otras dos y forma ángulos distintos del mismo lado con

ambas, las dos rectas se cortarán).

Teorema

Axioma 1: La adicion es clausurativa: si x, y pertenecen a un conjunto, entonces su suma x + y tambien pertenece al mismo conjunto.

Axioma 2: La adicion es conmutativa: x + y = y + x para todo x, y

Axioma 3: La adicion es asociativa: [x + y] + z = x + [y + z] para todo x, y, z

Axioma 4: Existe un elemento 0 tal que 0 + x = x para todo x.

Axioma 5: Para todo x, le corresponde un elemento -x tal que: x + [ - x ] = 0

Propiedad 1: Si y + x = y + z entonces x = z

Demostracion: Usando los axiomas procedemos así:

x = 0 + x = [ - y + y] + x = - y + [y + x] = - y + [y + z] = [ - y + y] + z = 0 + z = z

Propiedad 2: Si y + x = 0 entonces x = - y

Demostracion: Usando la propiedad 1 y el axioma 5 podemos reescribir el enunciado de la propiedad 2 asi: Si y + x = y + [ - y] entonces x = - y, esto lo puede ver escribiendo

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