Calculo Integral - Series

SERIES

Introducción

Una serie aritmética es la suma de una sucesión de términos. Por ejemplo, una serie interesante que aparece en muchos problemas en ciencia, ingeniería, y matemática es la serie geométrica r + r2 +r3 + r4 + ... donde ... indica que la serie continúa indefinidamente.

Una manera común de estudiar una serie particular (siguiendo a Cauchy) es definir una secuencia que consiste en la suma de los primeros n términos.

Por ejemplo, para estudiar la serie geométrica podemos considerar la secuencia que suma los primeros n términos:

Por lo general, estudiando la secuencia de sumas parciales podemos entender el comportamiento de la serie infinita entera.

Definición de Series infinitas:

Si {an}es una sucesión infinita,entoces:

ðoo=1 an= a1 + a2 + a3 + …+an +…

se llama una serie infinita o simplemente una serie. Los números a1, a2 ,a3, ........ se llaman los términos de la serie.

Para hallar las sumas de una serie infinita consideremos la siguiente sucesión de sumas parciales:

S1= a1

S2= a1 + a2

S3= a1 + a2 + a3

Sn= a1 + a2 + a3 + an +…….

Si esta sucesión converge y su suma es la que se indica en la siguiente definiciones:

Para la serie infinita ðan , la n-ésima suma parcial viene dada por :

Sn= a1 + a2 + a3 +……….+ an

Si la sucesión de sumas parciales {Sn}converge a S,diremos que la serie ðan converge . Llamaremos a S suma de la serie y escribiremos

S= a1 + a2 + a3 +…+ an +…..

Si {Sn} diverge, diremos que la serie es divergente.

Por lo tanto esta definición implica que una serie puede ser identificada con su sucesión de sumas parciales

de manera que las siguientes propiedades son consecuencias directa de sus análogos en sucesiones.

Propiedades de las Series Infinitas :

Si ðan = A , ðbn = B y c es un número real, las siguientes series convergen las sumas que se indican.

1. ðoon=1 can = cA 2. . ðoon=1 (an + bn) = A + B

3. ðoon=1 (an + bn)= A -B

Si se suprimen los N términos de una serie ,ello no destruye su convergencia ( o divergencia)

Supresión de los N primeros términos de una serie:

Para cualquier entero porsitivo N, las series

ðoon=1 an= a1 + a2 + a3 +… y ðoon= N+1 an= aN+1 + aN+2 + aN+3 +…..

Son ambas convergentes o ambas divergentes.Si ambas convergen sus sumas difieren por la suma parcial Sn.

Serie finita

xi = 0 para todo i > n y yi = 0 para todo i > m. En este caso el producto de Cauchy de y se verifica es . Por lo tanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.

Series numéricas

Los problemas de secuencias numéricas (llamadas normalmente series, aunque el término no sea muy correcto) son clásicos en las matemáticas recreativas. Se trata normalmente de averiguar cómo continúa una sucesión de números enteros de la que nos dan los primeros términos. Si te gustan este tipo de acertijos te recomiendo la página de Marcia Levitus, que posee una estupenda sección sobre series. También te interesará la Enciclopedia On-Line de las Secuencias de Números Enteros, mantenida por N. J. A. Sloane, de AT&T Research. En este sitio podemos introducir varios términos consecutivos para buscar qué secuencias los contienen. En el momento de escribir esto (marzo de 2004) hay allí más de 92.000 secuencias.

El índice de un término de la secuencia es el número de orden que ocupa. Normalmente se empieza a contar desde el 1, aunque a veces se empieza por el 0. Si la sucesión

...