DERIVACIÓN IMPLICITA

DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Un función es implícita cuando su regla de correspondencia es de la forma f(x,y)=0, es decir cuando no se encuentra despejada ninguna variable. Normalmente las funciones a derivar ya se encuentran despejadas, por ejemplo: la función y= x2+3x ya se encuentra despejada y lista para derivar, pero la función 4x2+6y-2=0 no esta despejada y por lo tanto ase debe usar un procedimiento distinto para resolverla, a través del teorema Dx yn= nyn-1 y’ (se puede observar, que es similar al teorema usado para la derivada básica, con la diferencia de que siempre se le agrega el término y’ (ye prima)).

El único detalle que debe cuidarse es que se debe identificar muy bien cual es el procedimiento para la derivada, ya que, por ejemplo para derivar el término 4x2y2 se debe tener en cuenta que se trata en realidad de “dos” términos que se multiplican y que en este caso se debe usar el teorema del producto (Dx u*v= uDxv+vDxu). Para derivar de forma implícita se siguen los siguientes pasos:

Se derivan todos los términos de la función con respecto a x.

Se efectúan las operaciones indicadas.

Se despejan los términos para dejar de un lado los que contengan y’ y del otro los que no tengan.

Se factoriza la y’.

Se despeja y’ y listo.

Paso Ejemplo Derivada implícita sencilla Ejemplo Derivada implícita con operación interna

1. x2+y2-25=0

Dx (x2)+ Dx (y2)- Dx (25)=0 4x3y2+x3=2-xy

Dx(4x3y2)+ Dx (x3)= Dx (2)- Dx (xy)

2. 2x+2yy’=0 (4x3 Dx y2+ y 2Dx 4x3)+3x2= -(x Dx y+y Dx x)

(4x3*2yy’+y2*12x2)+3x2=-(x*y’+y*1)

8x3yy’+12x2y2+3x2=-xy’-y

3. 2yy’=-2x 8x3yy’+ xy’= -y-12x2y2-3x2

4. y’(2y)=-2x y’(8x3y+ x)= -y-12x2y2-3x2

5. y’=(-2x)/2y y’=(-y-〖12x〗^2 y^2-〖3x〗^2)/(〖8x〗^3 y+x)

Ahora, pon a prueba lo aprendido con los siguientes ejercicios.

2x2 - 3y2 + 12 = 0

3x2 + 2y2 - 3x + 2y -5 = 0

xy + x3 = y2

x2y2 - x2y- x = 3y2 + xy

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