Derivación De Funciones Trigonométricas

A partir de la definición de la derivada de una función f(x):

f'(x)=\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}

Por tanto si f(x) = sin(x)

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x+h)-\sin(x)\over h}

A partir de la identidad trigonométrica \sin(A+B)=(\sin(A)\cos(B)+\cos(A)\sin(B)), se puede escribir

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\sin(x)\cos(h)+\cos(x)\sin(h)-\sin(x)\over h}

Agrupando los términos cos(x) y sin(x), la derivada pasa a ser

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)-\sin(x)(1-\cos(h))\over h}

Reordenando los términos y el límite se obtiene

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\sin(h)\over h} - \lim_{h\to 0}{\sin(x)(1-\cos(h))\over h}

Ahora, como sin(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

f'(x)=cos(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{(1-\cos(h))\over h}

El valor de los límites

\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(1-\cos(h))\over h}

Son 1 y 0 respectivamente por la regla de l'Hôpital. Por tanto, si f(x) = sin(x),

f'(x)=\cos(x) \,

Derivada de la función coseno[editar]

Si f(x) = cos(x)

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x+h)-\cos(x)\over h}

A partir de la identidad trigonométrica \cos(A+B)=\cos(A)\cos(B)-\sin(A)\sin(B), se puede escribir

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)\cos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)\over h}

Operando se obtiene:

f'(x)=\lim_{h\to 0}{\cos(x)(\cos(h)-1)-\sin(x)\sin(h)\over h}

Como sen(x) y cos(x) no varían al variar h, se pueden sacar fuera del límite para obtener

f'(x)=\cos(x)\lim_{h\to 0}{\cos(h)-1\over h} - \sin(x)\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h}

El valor de los límites

\lim_{h\to 0}{\sin(h)\over h} \quad\text{y}\quad \lim_{h\to 0}{(\cos(h)-1)\over h}

Son 1 y 0 respectivamente. Por tanto, si f(x) = cos(x),

f'(x)=-\sin(x) \,

Derivada de la función tangente[editar]

A partir de la regla del cociente,

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