Derivadas. Concepto. Propiedades. C´alculo De Derivadas. Aplicaciones.

Resumen Tema 3: Derivadas. Concepto. Propiedades. C´alculo de derivadas. Aplicaciones.

0.1. Concepto de derivada.

Definici´on 1. Sea f : S ⊂ R → R, a ∈ (b,c) ⊆ S. Decimos que f es derivable en a si existe:

l´ım x→a

f(x) − f(a) x − a

∈ R.

Dicho valor se denota como f0(a), se llama derivada de f en a y tambi´en se puede escribir como

l´ım h→0

f(a + h) − f(a) h

,

donde x − a = h.

Nota 2. Para que la derivada exista tiene que existir el l´ımite, es decir, deben existir los l´ımites laterales y coincidir.

Definici´on 3. Una funci´on f se dice derivable en A si lo es en todo punto a ∈ A.

Ejemplo 4. a) f(x) = x2 es derivable en a = 2 y su derivada vale f0(2) = 4, ya que:

f0(2) = l´ım h→0

f(2 + h) − f(2) h

= l´ım h→0

(2 + h)2 − 22 h

= l´ım h→0

h2 + 4h h

= l´ım h→0

(h + 4) = 4.

b) f(x) = |x| no es derivable en a = 0, pues

f0 +(0) = l´ım h→0+

|h| − |0| h

= l´ım h→0+

h h

= 1

pero

f0 −(0) = l´ım h→0−

|h| − |0| h

= l´ım h→0−

−h h

= −1.

Luego existen las derivadas laterales, pero los l´ımites no coinciden. Entonces, la funci´on valor absoluto no es derivable en a = 0.

c) f(x) = x1/3 no es derivable en a = 0, ya que:

f0(0) = l´ım h→0

h1/3 − 01/3 h

= l´ım h→0

1 h2/3

= +∞

luego no se trata de un nu´mero real. En este caso, se dice que la funci´on tiene derivada +∞ en a = 0.

Definici´on 5 (Funci´on derivada). Sean f : S ⊂ R → R y T = {x ∈ S/f posee derivada en x}. La funci´on:

x ∈ T 7→ f0(x) ∈ R

se llama funci´on derivada primera de f y se representa por f0. An´alogamente se pueden definir las derivadas sucesivas:

f00 = (f0)0, f000 = (f00)0, fiv) = (f000)0, ...

1

0.2. Interpretaci´on geom´etrica de la derivada

Si f es derivable en a, f0(a) es un nu´mero real que coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (a,f(a)).

–1

0

1

2

3

4

0.5 1 1.5 2 x

− − − − es la funci´on y = x2 ¦ ¦ ¦ ¦ es la tangente en el punto (1,1), y = 2x − 1 × × × × es la recta normal en el punto (1,1), y = (3 − x)/2

Definici´on 6. Se define la recta de pendiente m que pasa por el punto (x0,y0) como:

y − y0 = m(x − x0)

Dos rectas de pendientes m y e m, respectivamente, se dice que son perpendiculares cuando forman un ´angulo de 90o. Entonces, se puede comprobar que la relaci´on entre sus pendientes es:

e m = −

1 m

Definici´on 7. Si f es derivable en a y f0(a) 6= 0, entonces la pendiente de la recta tangente en el punto (a,f(a)) es f0(a), y la pendiente de la recta normal es − 1 f0(a).

y − f(a) = f0(a)(x − a) es la recta tangente a y = f(x) en el punto (a,f(a)).

y − f(a) = −

1 f0(a)

(x − a) es la recta normal a y = f(x) en el punto (a,f(a)).

Nota 8.

Si f0(a) = 0, entonces la recta tangente es horizontal.

Si f0(a) = ±∞, entonces la recta tangente es vertical.

2

Teorema 9. Si f es derivable en a, entonces f es continua en a.

Demostraci´on: Supongamos que f es derivable en a. Entonces, existe el l´ım x→a

f(x) − f(a) x − a

= f0(a).

Para la continuidad de f en a, tenemos que demostrar que si x → a entonces f(x) → f(a).

Notemos que si x 6= a,

f(x) − f(a) =

f(x) − f(a) x − a

· (x − a)

luego

l´ım x→a

f(x) − f(a) x − a

· (x − a) = f0(a) · l´ım x→a

(x − a) = 0

Nota 10. El rec´ıproco no es cierto, es decir, una funci´on continua en un punto no tiene por qu´e ser derivable en ese punto. Ejemplo: f(x) = |x| en a = 0.

0.3. ´Algebra de derivadas

Teorema 11. Sean f, g : S ⊂ R → R dos funciones derivables en a. Entonces, se verifica:

1. f ± g es derivable en a, siendo:

(f ± g)0(a) = f0(a) ± g0(a)

2. Si λ ∈ R, entonces λ · f es derivable, siendo:

(λ ·

...